（HDU）1005 -- Number Sequence（数列）

问题描述
数列定义如下：

f（1）= 1，f（2）= 1，f（n）=（A * f（n-1）+ B * f（n-2））mod 7。

给定A，B和n，你要计算f（n）的值。
 

输入
输入由多个测试用例组成。 每个测试用例在一行（1 <= A，B <= 1000，1 <= n <= 100,000,000）中包含3个整数A，B和n。三个零表示输入结束，此测试用例不进行处理。

 

输出
对于每个测试用例，在一行上输出f（n）的值。
 

样例输入
1 1 3
1 2 10
0 0 0
 

样例输出
2
5

注意这道题n的范围，1≤n≤1000000000，要小心超时超内存的问题。

看到题目直接写往往会忽视很多细节问题，给出公式的题目注意看看有没有规律。

mod是取模的意思，这里可以认为是取余数。

所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。
       数学上的记法为：
       a≡ b(mod d)
       可以看出当n<d的时候,所有的n都对d同商,比如时钟上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同商.
对于同余有三种说法都是等价的,分别为:
       (1) a和b是模d同余的.
       (2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .
       (3) d整除a-b.
       可以通过换算得出上面三个说法都是正确而且是等价的.
       基本定律：
       同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:
       1)a≡a(mod d)
       2)对称性 a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
       3)传递性 (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
       如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
           4)a+b≡x+m （mod d）
           5)a-b≡x-m (mod d)
           6)a*b≡x*m (mod d )
           7)a/b≡x/m （mod d）
       8）a≡b（mod d）则a-b整除d
       9）a≡b（mod d）则a^n≡b^n(mod d)
      10)如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m）
      模运算的运算规则：
      (a + b)  mod  p = (a  mod  p + b  mod  p)  mod  p            （1）
      (a - b)  mod  p = (a  mod  p - b  mod  p)  mod  p              （2） 
      (a * b)  mod  p = (a  mod  p * b  mod  p)  mod  p              （3）
      a^b  mod  p = ((a  mod  p)^b)  mod  p                              （4）
      结合率： ((a+b)  mod  p + c)  mod  p = (a + (b+c)  mod  p)  mod  p （5）
                     ((a*b)  mod  p * c) mod  p = (a * (b*c)  mod  p)  mod  p     （6）
      交换率： (a + b)  mod  p = (b+a)  mod  p                 （7）
                     (a * b)  mod  p = (b * a)  mod  p                 （8）
      分配率： ((a +b) mod  p * c)  mod  p = ((a * c)  mod  p + (b * c)  mod  p)  mod  p （9）
      重要定理：若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) ( mod p)；（10）
                        若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) ( mod p)；（11）
                        若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc ( mod p)；     （13）

本文地址：http://blog.csdn.net/a359680405/article/details/41675143

对于公式 f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7，为了防止溢出，改成 f(n) = （A mod 7 * f(n - 1) + B mod 7* f(n - 2)）mod 7

(如果看不懂改写原因就看一下上面的了解内容，或者自己写几个例子验证。这题A和B范围比较小，其实不改也可以。)

f（n）自身是保证在0-6的整数范围内的，同样f（n-1）和f（n-2）只有这七种取值。

f（n）是由f（n-1）和f（n-2）确定的，因为A和B是一个确定的值，对整个公式没有影响。

用映射的思想来看，一对f（n-1）和f（n-2）只能映射一个f（n），

所以f（n）的计算 最多 只有 49种可能，如果你还是理解不了，看下面的表格...

假设A=2,B=1...但是循环周期不是49（这是最糟糕的情况）。

fn		f(n-1)
		0	1	2	3	4	5	6
f(n-2)	0	0	2	4	6	1	3	5
	1	1	3	5	0	2	4	6
	2	2	4	6	1	3	5	0
	3	3	5	0	2	4	6	1
	4	4	6	1	3	5	0	2
	5	5	0	2	4	6	1	3
	6	6	1	3	5	0	2	4

如果有连续的两项，在前面的数列中出现过，最小循环节就找到了（注意不一定是出现连续两个1，1的时候，即出现f（1）和f（2））

eg：1　　1　　3　　4　　1　　6　　1　　3（1和3在前面出现过了，最小循环节就是13416）

找到了最小循环节，代码就容易写出来了。

 

下面的写法是直接将49个数作为循环节，但是不是最小循环节（周期函数不是有最小正周期嘛）。

#include <iostream>  
using namespace std;  
int arr[50];  
int main()  
{  
    int n,a,b;  
    arr[1]=arr[2]=1;  
    while(cin>>a>>b>>n)  
    {  
        if(a==0&&b==0&&n==0)  
            break;  
        int minn=n<50?n:50;//一个小小的优化  
        for(int i=3; i<=minn; i++)  
        {  
            arr[i]=(a*arr[i-1]+b*arr[i-2])%7;  
        }  
        cout<<arr[n%49]<<endl;  
  
    }  
    return 0;  
}  

这个写法比较麻烦，但是也算一种拓展：

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int rec[60];

int main()
{
    int a, b, n;
    rec[0] = rec[1] = rec[2] = 1;
    while( scanf( "%d %d %d", &a, &b, &n ), a | b | n )
    {
        int beg, end, flag = 0;
        for( int i = 3; i <= n && !flag; ++i )
        {
            rec[i] = ( a * rec[i-1] + b * rec[i-2] ) % 7;
            for( int j = 2; j <= i - 1; ++j )
            {
                if( rec[i] == rec[j] && rec[i-1] == rec[j-1] )
                {
                    beg = j, end = i;
                    flag = 1;
                    break;
                }
            }
        }
        if( flag )
        {
            printf( "%d\n", rec[beg+(n-end)%(end-beg)] );
        }
        else
            printf( "%d\n", rec[n] );
    }
    return 0;
}