排列组合

排列组合九大解题技巧（按理解难度排序）

• 先选后排：先将元素选出来，再进行排列，非常有效的降低问题的复杂度。

• 特殊优先：特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。

• 分排用直排：\(n\) 个元素，从中选出 \(m\) 个，将这 \(m\) 个元素排成若干排。分排问题的排列可以看做一排，避免考虑了复杂的前后排列，简化了问题。

\[S=A_n^m \]

• 分类法：当计算符合条件的数目比计算不符合条件数目简单时，将问题分成若干类，逐个求解，与“排除法”相对。

• 排除法：当计算符合条件的数目比计算不符合条件数目复杂时，简称正难则反。排除不符合要求的，剩下的就是符合题目要求的。与“分类法”相对。

• 捆绑法：\(n\) 个不同元素排成一列，要求 \(m\) 个元素必须相邻。可以特殊优先，把 \(m\) 个元素捆绑在一块单独处理。

\[S=A_{n-m+1}^{n-m+1}\times A_m^m \]

• 插空法：\(n\) 个不同元素排成一列，要求 \(m\) 个元素不能相邻。先把不用特殊处理的元素进行排列，再把甲乙进行插空。

\[S=A_{n-m}^{n-m}\times A_{n-1}^{m} \]

• 隔板法/插板法：将 \(n\) 个相同元素分成 \(m\) 组，每组至少有一个元素。相当于把 \(m−1\) 个隔板插到 \(n\) 个元素形成的 \(n−1\) 个空隙里。

\[S=C_{n-1}^{m-1} \]

• 定序： \(n\) 个元素的全排列中有 \(m\) 个元素必须定序排列，这 \(m\) 个元素相邻或不相邻不受限制。

\[S=\dfrac{A_n^n}{A_m^m} \]