洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 \(N,M,S\)，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 \(N-1\) 行每行包含两个正整数 \(x, y\)，表示 \(x\) 结点和 \(y\) 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 \(M\) 行每行包含两个正整数 \(a, b\)，表示询问 \(a\) 结点和 \(b\) 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 \(M\) 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

输出 #1

4
4
1
4
4

说明/提示

对于 \(30\%\) 的数据，\(N\leq 10\)，\(M\leq 10\)。

对于 \(70\%\) 的数据，\(N\leq 10000\)，\(M\leq 10000\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \leq N,M\leq 5\times10^5\)，\(1 \leq x, y,a ,b \leq N\)，不保证 \(a \neq b\)。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：\(2, 4\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

第二次询问：\(3, 2\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

第三次询问：\(3, 5\) 的最近公共祖先，故为 \(1\)。

第四次询问：\(1, 2\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

第五次询问：\(4, 5\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

故输出依次为 \(4, 4, 1, 4, 4\)。

2021/10/4 数据更新 @fstqwq：应要求加了两组数据卡掉了暴力跳。

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这题是最近公共祖先(LCA)的标准模板题
我们可以预处理出两点上跳的行为
定义dp[i][j]:从节点i出发走2^j步能到达的节点
那么类似于ST表
{
lastpos=dp[i][j-1]
dp[i][j]=dp[lastpos][j-1]
}
就是先走2^(j-1)步走到lastpos
再从lastpos走2^(j-1)步到达节点dp[lastpos][j-1]
总步数2^(j-1)+2(j-1)=2^j
起点i，终点dp[lastpos][j-1]=dp[i][j]
所以递推式就是：
dp[i][j]=dp[dp[i][j-1][j-1]
还有一点就是我们用dp[i][0]记录i的父亲节点
这些都可以用dfs来解决：

void dfs(int pos,int fa){
    deep[pos]=deep[fa]+1;
    dp[pos][0]=fa;
    for(auto v:g[pos]){
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,pos);
    }  
}

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再者就是LCA函数
先传入两个节点x，y
确保deepx<deep[y]
那么显然的要求y节点先跳上与x节点等高的位置：

int d=deep[y]-deep[x];
for(int k=0;k<=20;k++){
  if(d>>k&1) y=dp[y][k];
}

如果x==y，说明两者的LCA就是x！！！！

if(x==y) return x;

如果x!=y:
那就一起往上跳
注意！要从最大的步数开始跳，因为从最小步数开始跳的话，一旦答案再很高的位置就会浪费很多时间复杂度！

for(int k=20;k>=0;k--){
  if(dp[x][k]!=dp[y][k]) //如果发现跳了这么多步还没有公共的节点
    x=dp[x][k],y=dp[y][k]; //直接跳，就不用再中间的节点了，省时省力！
}

跳到最后，x，y都离最近公共祖先差一个位置，直接c++ return dp[x][0](或者c++ return dp[y][0]一样的)

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ACcode:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int n,m,s;
int dp[N][25],deep[N]; //father=dp[i][0];
vector<int> g[N];
/*
dp[i][j]:从节点i往上跳2^j步，达到的节点编号
lastpos=dp[i][j-1] 先从i跳2^(j-1)步
dp[i][j]=dp[lastpos][j-1] 再从lastpos跳2^(j-1)步
所以：dp[i][j]=dp[dp[i][j-1]][j-1];
*/
void dfs(int pos,int fa){
	
	deep[pos]=deep[fa]+1;
	dp[pos][0]=fa;
	for(auto v:g[pos]){
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,pos);
	}
}
int LCA(int x,int y){
	if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
	int d=deep[y]-deep[x];
	for(int k=0;k<=20;k++)
		if(d>>k&1) y=dp[y][k];
	if(x==y) return x;
	//倒序先大步跳
	for(int k=20;k>=0;k--)
		if(dp[x][k]!=dp[y][k]) x=dp[x][k],y=dp[y][k];
	return dp[x][0];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
	dfs(s,s);
	for(int j=1;j<=20;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			dp[i][j]=dp[dp[i][j-1]][j-1];
	while(m--){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		cout<<LCA(x,y)<<endl;
	}
	return 0;
}