洛谷 P1048采药题解--zhengjun

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 \(2\) 个整数 \(T\)（\(1 \le T \le 1000\)）和 \(M\)（\(1 \le M \le 100\)），用一个空格隔开，\(T\) 代表总共能够用来采药的时间，\(M\) 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 \(M\) 行每行包括两个在 \(1\) 到 \(100\) 之间（包括 \(1\) 和 \(100\)）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入 #1 复制

70 3
71 100
69 1
1 2

输出 #1 复制

3

说明/提示

对于 \(30\%\) 的数据，\(M \le 10\)；
对于全部的数据，\(M \le 100\)。
\(NOIP2005\) 普及组 第三题

思路

首先，这是一道背包问题，其实就是动态规划。

我们用\(f_{i,j}\)表示可以采前面\(i\)种药，用\(j\)个时间单位能够采到药的最大价值。

一道01背包问题,01背包，就是一种物品只能有取和不取两种，当我们来到\(f_{i,j}\)时，可以采一次第\(i\)药也就是\(f_{i,j-t_i}\)，就是要留出\(t_i\)来采这个药(肯定要使\(j\geq t_i\)才可以采)，当然也可以不采，那么就是\(f_{i-1,j}\)就是这个第\(i\)种药不采，采前面\(i-1\)中药的最大价值。

所以转移公式就是

\[\begin{Bmatrix} f_{i,j}=f_{i-1,j},j<t_i\\ f_{i,j}=\max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-t_i}+v_i) \end{Bmatrix}\]

这样就可以写出AC代码

代码#1

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m;
int t[101],v[101];
int f[101][1001];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			if(j-t[i]>=0)//可以采
			    f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-t[i]]+v[i]);
			else f[i][j]=f[i-1][j];//时间不够
		}
	}
	printf("%d",f[n][m]);
	return 0;
}

然后，我们发现，每一次只需要用到上面一层的\(f\)，所以，我们可以用滚动数组，就开两个维度，这样不断滚动求出答案。

代码#2

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m;
int t[101],v[101];
int f[2][1001];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int i1=i%2,i2=i1^1;//i1是这一层的,i2是上一层的,^1可以让0变成1,让1变成0
		for(int j=0;j<=m;j++){
			if(j-t[i]>=0)
			    f[i1][j]=max(f[i2][j],f[i2][j-t[i]]+v[i]);
			else f[i1][j]=f[i2][j];
		}
	}
	printf("%d",f[n%2][m]);//输出
	return 0;
}

最后，能不能用一个维度来实现呢，为了让到了这个点，这个点的前面也就是\(f_{i-1,j-t_i}\)还没有更新，那么只要从后往前循环，前面的都是上一层的，而后面的都是已经更新过的

代码#3

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m;
int t[101],v[101];
int f[1001];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=t[i];j--){//因为前面装不下的就是上一层的,这里滚动就是保存上一层的,所以就是它本身不用动
			f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+v[i]);
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

谢谢--zhengjun