Educational Codeforces Round 80 (Rated for Div. 2)

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C . Two Arrays

• 题意：用n个数字(1~n)，构造两个长度为m的序列满足以下条件：

  • \(a_{i} \le b_{i} (1 \le i \le m)​\)
  • a序列不递减
  • b序列不递增

  问有多少种方案？

• 分析：

  • 根据a不递减，b不递增，且\(a_{i} \le b_{i} (1 \le i \le m)\) 的条件，我们可以得出如果将b序列反向加在a序列后面构成新的序列，这个序列一定是非递减的。所以问题转为2*m的序列，用n个数构成非递减序列的方案数。DP。
  • \(dp[i][j]\)表示第 i 个位置放 j 数的方案数，显然它等于前面 i - 1 位放 k (\(k \le j\)) 的方案数之和。

• 代码：

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int MA=1e3+5;
  const int P=1000000007;
  
  ll dp[MA][MA];
  
  int main()
  {
      int n,m;
      scanf("%d%d",&n,&m);
      for(int i=1;i<=n;++i)dp[1][i]=1;
      for(int i=2;i<=2*m;++i){
          for(int j=1;j<=n;++j){
              for(int k=1;k<=j;++k){
                  dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%P;
              }
          }
      }
      ll ans=0;
      for(int i=1;i<=n;++i){
          ans=(ans+dp[2*m][i])%P;
      }
      printf("%lld\n",ans);
      return 0;
  }