牛客周赛 Round 105【D题：重排构造题解】

📖 题目描述

给定一个长度为 n 的数组，数组中只包含整数 1 和 2。要求重新排列数组，使得相邻元素的最大公因数之和等于给定值 k。

输入格式：

• 📥 第一行：两个整数 n, k

• 📥 第二行：n 个整数，每个都是 1 或 2

输出格式：

• ❌ 如果无解，输出 -1

• ✅ 否则输出任意一个满足条件的重排数组

💡 解题思路

相邻两个数的最大公因数：

• gcd(1,1) = 1

• gcd(1,2) = 1

• gcd(2,1) = 1

• gcd(2,2) = 2

👉 只有两个 2 相邻时贡献为 2，其他情况都贡献 1

📐 数学构造

设数组中有 x 对相邻的 2，则：

• 这 x 对的贡献：x × 2 = 2x

• 剩余 (n-1-x) 对的贡献：(n-1-x) × 1

• 总和 = 2x + (n-1-x) = n-1+x

要求：

\(n−1+x=k⇒x=k−(n−1)\)

🛠️ 算法设计

根据 x 的值分两种情况处理：

🎯 情况1：x = 0（不需要相邻的2）

• 条件检查：所有 2 都不能相邻 → b ≤ a+1

• 构造策略：交替排列 1 2 1 2 1 2...或者2 1 2 1 2 1...

if (x==0) {
    if (b>a+1) {
      cout<<"-1"<<endl;
      return 0;
    }
  //如果2的数量更多，构造2 1 2 1 2 1...
    if (b>=a) {
      for (int i=0;i<a;i++)
        cout<<"2 1 ";
      for (int i=0;i<b-a;i++)
        cout<<"2 ";
    }
  //1的数量更多，构造1 2 1 2 1 2 ...
    else {
      for (int i=0;i<b;i++)
        cout<<"1 2 ";
      for (int i=0;i<a-b;i++)
        cout<<"1 ";
    }
  }

🎯 情况2：x > 0（需要恰好 x 对相邻的2）

• 条件检查：

  1. 需要至少 x+1 个 2 来形成 x 对相邻的 2

  2. 需要足够的 1 来分隔剩余的 2

• 构造策略：

  1. 先放置 x+1 个连续的 2

  2. 用 1 分隔剩余的 2：1 2 1 2...

  3. 最后放置剩余的 1

else {
    int bb=b-(x+1);
    if (a<bb) {
      cout<<"-1"<<endl;
      return 0;
    }
  //先放置 x+1 个连续的 2
    for (int i=0;i<x+1;i++)
      cout<<"2 ";
  //用 1 分隔剩余的 2
    for (int i=0;i<bb;i++)
      cout<<"1 2 ";
  //放置剩余的 1
    for (int i=0;i<a-bb;i++)
      cout<<"1 ";
  }

🖥 C++ 实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long


int main() {
  int n,k;
  cin>>n>>k;
  int a=0;
  int b=0;
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    int x;
    cin>>x;
    if (x==1)
      a++;
    else if (x==2)
      b++;
  }
  int x=k-(n-1);

  if (x<0||x>=b) {
    cout<<"-1"<<endl;
    return 0;
  }

  if (x==0) {
    if (b>a+1) {
      cout<<"-1"<<endl;
      return 0;
    }
    if (b>=a) {
      for (int i=0;i<a;i++)
        cout<<"2 1 ";
      for (int i=0;i<b-a;i++)
        cout<<"2 ";
    }
    else {
      for (int i=0;i<b;i++)
        cout<<"1 2 ";
      for (int i=0;i<a-b;i++)
        cout<<"1 ";
    }
  }
  else {
    int bb=b-(x+1);
    if (a<bb) {
      cout<<"-1"<<endl;
      return 0;
    }
    for (int i=0;i<x+1;i++)
      cout<<"2 ";
    for (int i=0;i<bb;i++)
      cout<<"1 2 ";
    for (int i=0;i<a-bb;i++)
      cout<<"1 ";
  }
  cout<<endl;
  return 0;
}

📊 复杂度分析

• ⏱ 时间复杂度：O(n)（输入输出）

• 💾 空间复杂度：O(1)（常数额外空间）

🎯 总结

题目的样例有点不太全，我的第一次代码

输入：n=7, k=6, [1 1 1 2 2 2 2]

输出：1 2 1 2 1 2 2

但是这个的gcd和值为7；

正确的输入应该是： 2 1 2 1 2 1 2

明显错误，但是ac了。

后面我就在x = 0的判断里，又加了两个判断，判断是应该先输出 1 还是 2。