连续击中目标问题

题目：如果一个选手击中目标的概率为0.6，则选手射击20次，至少5次连续击中目标的概率是多少？

考虑更一般化的排列问题：选手射击N次，至少有M次连续击中目标的排列有多少？

连续击中的次数可以为M，也可以为M+1,...,N，正面考虑该问题，情况非常复杂，不容易确定。但如果设F(N,M)为所求的排序数，当第N次射击时，我们可做如下分析（动态规划）：

1）最后一次射击在计数中起作用。也就是说，在前N-1次射击中并没有出现连击超过M次的情况，但第N射击次后出现了，这种情况只能是以下情形（F未击中，T击中，U不确定）：

U…U[共N-M-1个U] FT….T[共M–1个T] T

对于前面N-M-1个U，共有多少中可能性呢？F(N,M)为N次射击中，至少出现一次M连击了次数，则N次射击中，没有一次出现M连击的可能有：2^N-F(N,M)；令N=N-M-1，则N-M-1个U的可能排列有2^(N-M-1)-F(N-M-1,M)，后面的排列情况是一定的，则最后一击起作用的情况有2^(N-M-1)-F(N-M-1,M)次。

2）第N次射击没有起作用。也就是说前N-1次射击中已经出现过M连击，共有F(N-1,M)次，最后一次可以击中，也可不击中，则N次射击共有2*F(N-1,M)中情况。

没有第三种可能，因此F(N,M)= 2*F(N-1,M) + 2^(N-M-1) - F(N-M-1,M)，且明显有：F(N,M) = 0，如果N<M；F(N,M)=1，如果 N=M。

令f(N)=F(N,5)，则有f(n) = 2*f(n-1) + 2^(n-6) - f(n-6)，如果求这个递推关系的一般式子，不太清楚了。有知道的，请告诉我：）

则可以计算出f(20)=26008，很容易将递推式转到概率上，这里不再赘述。简单的程序见下面：

View Code 
  // 射击 n 次，连续命中 m 次的可能数目
  int comb(int n, int m)
  {
      if (n < m)
          return 0;
      else if (n == m)
          return 1;
      else
          return 2*comb(n - 1, m) + pow(2, n - m - 1)  - comb(n-m-1, m);
  }
  int check(int n, int m)
  {
      int ret = 0;
      int num = pow(2, n);
      for (int k = 0; k < num; ++k)
      {
          int flag = 0;
          int current = k;
          while (current != 0)
          {
              if (current % 2 == 0)
                  flag = 0;
              else
                  flag++;
              if (flag >= m)
              {
                  ret++;
                  break;
              }
              current /= 2;
          }
      }
      return ret;
  }
  int main()
  {
      for (int i = 0; i <= 20; i++)
          cout << "i = " << i << ":  " <<  comb(i, 5) << " check: " << check(i, 5) << "/n";
      return 0;
  }