爬楼梯

爬楼梯问题是一个经典的动态规划问题，通常表述为：一个人站在楼梯的底部，每次可以选择爬 1 级或 2 级楼梯，问到达楼顶有多少种不同的方式。

问题分析

• 每次可以选择向上爬 1 层楼梯，或者 2 层楼梯。

• 假设我们在第 n 层楼梯，那么在到达第 n 层楼梯时，前一步可以是从第 n-1 层楼梯爬上来的，或者从第 n-2 层楼梯跳上来的,从而得出下面的公式

f(n)=f(n−1)+f(n−2)

假设要计算 f(5)（到达 5 层楼梯的方式数）：

• f(5) = f(4) + f(3)

• f(4) = f(3) + f(2)

• f(3) = f(2) + f(1)

• f(2) = 2

• f(1) = 1

边界条件

• f(0) = 1：站在地面上，不需要爬任何楼梯，只有1种方式——什么都不做。

• f(1) = 1：只有1层楼梯时，只能爬1步——1种方式。

• f(2) = 2：有两层楼梯时，可以选择1次爬两层，或者2次、每次爬1层——两种方式。

代码实现

 简单递归法：

function climbStairs(n) {
    // 基本情况
    if (n === 0) return 0;
    if (n === 1) return 1;
    if (n === 2) return 2;
    // 递归
    return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

递归存在的问题：

重复计算许多相同的子问题，效率较低。例如，climbStairs(5) 会分别调用 climbStairs(4) 和 climbStairs(3)，而 climbStairs(4) 和 climbStairs(3) 又会分别调用 climbStairs(3) 和 climbStairs(2)，以此类推，造成重复计算。

 

改进的递归实现

为了避免重复计算，可以使用 记忆化（Memoization）技巧，将已经计算过的结果存储起来，下次需要时直接返回，避免重复计算，从而将时间复杂度降低到 O(n)。

function climbStairs(n) {
    // 使用一个对象存储已经计算过的结果
    const memo = {};
    
    function helper(n) {
        // 如果已经计算过，直接返回结果
        if (n === 0) return 0;
        if (n === 1) return 1;
        if (n === 2) return 2;
        
        // 如果之前没有计算过，进行递归并缓存结果
        if (memo[n] === undefined) {
            memo[n] = helper(n - 1) + helper(n - 2);
        }
        
        return memo[n];
    }
    
    return helper(n);
}