LeetCode/快速幂

实现 pow(x,n) ，即计算 x 的 n 次幂函数

1. 递归分治

先考虑指数正数的情况
求x的n次幂函数可以转换成求两个⌊n/2⌋的幂函数之积，由于两个是相同的，运算时间直接减少一半
通过递归使得求解时间成为对数级，需要注意的是分别讨论n的奇偶性
由于使用递归具有一定空间复杂度

class Solution {
public:
    double quickMul(double x, long N) {
        if (N == 0) return 1.0;//任何数的零次幂为1
        double y = quickMul(x, N / 2);//递归分治
        return N % 2 == 0 ? y * y : y * y * x;//考虑奇偶情况
    }
    double myPow(double x, int n) {
        long N = n;//考虑负数反转后越界
        return N >= 0 ? quickMul(x, N) : 1.0 / quickMul(x, -N);//考虑指数的正负性
    }
};

2. 正向迭代

两种算法的本质其实还是拆解出需要用于求出指数值的2的幂级数组合，这样就可以在不断进行平方增长（自乘）的情况下
判断哪些时机的值是需要的，从而使得时间复杂度为对数级
不过在递归的时候，2的零次方被被多次用于二分凑指数值，而在正向迭代的过程中，每一级幂指数最多只会用一次
把指数值转换成二进制数，数值为1的位都是我们需要用来凑出指数的2的幂，通过这个我们可以判断自乘过程中
哪些值是需要加入到计算最后总值的，这就是正向迭代

class Solution {
public:
    double quickMul(double x, long long N) {
        double ans = 1.0;// 贡献的初始值为 x
        double x_contribute = x;
        // 在对 N 进行二进制拆分的同时计算答案
        while (N > 0) {
            if (N % 2 == 1) // 如果 N 二进制表示的最低位为 1，那么需要计入贡献
                ans *= x_contribute;
            // 将贡献不断地平方
            x_contribute *= x_contribute;
            // 舍弃 N 二进制表示的最低位，这样我们每次只要判断最低位即可
            N /= 2;
        }
        return ans;
    }

    double myPow(double x, int n) {
        long long N = n;
        return N >= 0 ? quickMul(x, N) : 1.0 / quickMul(x, -N);
    }
};