组合数学学习笔记

定义

\[C_n^m=\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} \]

公式

\[\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1} \]

\[\sum^n_{i=0}\dbinom{n}{i}=2^n \]

\[\dbinom{n}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{m-k} \]

组合数求法

当范围较小时，使用加法原理 \(O(n^2)\) 求组合数（杨辉三角）

当范围较大时用定义式，对大质数 \(p\) 取模时 \(O(n)\) 预处理阶乘与阶乘逆元

int fac[maxn], inv[maxn], invfac[maxn];
fac[0] = inv[1] = invfac[0] = 1;
rep(i, 2, n) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
rep(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
rep(i, 1, n) invfac[i] = inv[i] * invfac[i - 1] % p;

范围更大无法处理阶乘时可以使用 Lucas 定理，时间复杂度 \(O(\log_pn)\)

Lucas 定理

\[\dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\times\dbinom{n\bmod p}{m\bmod p} \pmod{p} \]

ll fac[maxn], invfac[maxn], inv[maxn];
ll lucas(ll x, ll y) {
    if(x < y) return 0;
    if(x < p) return fac[x] * invfac[y] * invfac[x - y] % p;
    return lucas(x / p, y / p) * lucas(x % p, y % p) % p;
}

球与盒子模型

1) 球相同盒不同无空盒

隔板法，相当于在 \(n-1\) 个位置插 \(m-1\) 个隔板，答案为 \(\dbinom{n-1}{m-1}\)

2) 球相同盒不同有空盒

加入 \(m\) 个“虚球”，接下来同无空盒，最终答案为 \(\dbinom{n+m-1}{m-1}\)

3) 球不同盒相同无空盒

第二类斯特林数。

设 \(f_{i,j}\) 为 \(i\) 个小球放在 \(j\) 个盒子里且每个盒子不空的方案数，则 \(f_{i,1} = f_{i,i} = 1\)，转移为 \(f_{i,j}=j\times f_{i-1,j}+f_{i-1, j - 1}\)

int f[15][15];//表示n个小球放进m个盒子里且每个盒子不空的方法数
rep(i, 1, n) f[i][1] = 1, f[i][i] = 1;
   rep(i, 1, n) rep(j, 2, m) f[i][j] = f[i - 1][j] * j + f[i - 1][j - 1];