最大子矩阵和

最大子矩阵和 $ n^3 $ 算法

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$ solution: $

首先我们不难想到枚举上下左右边界，然后两层循环统计权值和，复杂度 $ O(n^6) $ 。这个我们用前缀和可以省去后面的循环，将复杂度降成 $ O(n^4) $ 。然后我们考虑不枚举上下左右四个边界，我们只枚举其中的上边界和下边界，于是题目转化成一个一维找权值最大区间。

于是我们考虑一个问题：怎样求一个数列的最大子段和。这个用DP可以做，设 $ f[i] $ 表示以 $ i $ 为右端点的最大字段和， $ f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) $ 这个我们可以 $ O(n) $ 计算。

于是我们求出这整个矩阵的向上的前缀和 $ s[i][j]=a[i][j]+s[i-1][j] $ ，这个可以 $ O(1) $ 求出上述一维状态下的权值。

总复杂度 $ O(n^3) $

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$ code: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define rg register int

using namespace std;

int n,ans;
int s[105][105];
int a[105],f[105];

inline int qr(){
	register char ch; register bool sign=0; rg res=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')sign=1;
	while(isdigit(ch))res=res*10+(ch^48),ch=getchar();
	if(sign)return -res; else return res;
}

int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=qr(); f[0]=-1e9; ans=-1e9;
	for(rg i=1;i<=n;++i)
		for(rg j=1;j<=n;++j)
			s[i][j]=s[i-1][j]+qr();
	for(rg i=0;i<n;++i)
		for(rg j=i+1;j<=n;++j)
			for(rg k=1;k<=n;++k){
				a[k]=s[j][k]-s[i][k];
				f[k]=max(f[k-1]+a[k],a[k]);
				ans=max(ans,f[k]);
			}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}