＜工程数学＞分贝（dB）

本篇解释了工程中分贝的概念，根据所衡量的物理量不同，分贝有不同的定义。

分贝（dB）定义与功率比、电压比

分贝（dB）源自单位贝尔（Bel），用于表示两个同类物理量的比值的对数量级。其基础定义如下：

贝尔（Bel）定义

\[\text{Bel} = \log_{10}\left(\frac{A_1}{A_0}\right) \]

• \(A_1\)：被测物理量
• \(A_0\)：参考值

由于 1 贝尔单位过大，实际采用其十分之一，称为分贝（decibel, dB）：

\[\text{dB} = 10 \log_{10}\left(\frac{A_1}{A_0}\right) \]

---

功率比的分贝定义

当比较的是功率（如电信号的功率）时，直接使用分贝公式：

\[L_p = 10 \log_{10}\left(\frac{P_1}{P_0}\right) \]

• \(L_p\)：功率比对应的分贝值（单位：dB）
• \(P_1\)：被测功率
• \(P_0\)：参考功率

---

电压比的分贝定义

若比较的是电压，注意功率与电压的关系：

\[P \propto V^2 \]

因此电压比转化为功率比后，再代入分贝公式：

\[L_v = 10 \log_{10}\left( \left( \frac{V_1}{V_0} \right)^2 \right) = 20 \log_{10}\left( \frac{V_1}{V_0} \right) \]

• \(L_v\)：电压比对应的分贝值（单位：dB）
• \(V_1\)：被测电压
• \(V_0\)：参考电压

因此功率比用10倍对数表示，电压比用20倍对数表示，根本原因是功率与电压的平方关系。

---

常用参考值

分贝值	功率比近似	电压比近似
3 dB	约 2 倍	约\(\sqrt{2}\approx1.414\) 倍
10 dB	10 倍	约 3.16 倍
20 dB	100 倍	10 倍

补充说明

• 在控制系统的频率响应分析中（伯德图），常采用电压比的定义，即\(20 \log_{10}\) 。
• 截止频率指系统频率响应幅值下降到最大值的 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)（约0.707）倍的频率点，即对应 - 3 dB 点，此时输出功率减半。