＜工程数学＞复数、极坐标与欧拉公式简明教程（含欧拉公式推导）
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本笔记梳理复数的基本表示方法，以及欧拉公式与复数之间的联系。
相关公式常用于
- 傅里叶分析（Fourier analysis）
- 信号处理（Signal processing）
- 微分方程求解（Differential equations）
- 振动与波动问题建模
一、欧拉公式
欧拉公式是：
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]
它建立了复指数函数与三角函数的联系。
1.1 推导（泰勒展开）
基本函数在 \(x=0\) 处的泰勒级数为：
-
指数函数：
\[e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots \] -
余弦函数：
\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \] -
正弦函数：
\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]
将 \(x\) 替换为 \(i\theta\)，得到：
\[\begin{aligned}
e^{i\theta}
&= 1 + \frac{i\theta}{1!} + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots \\
&= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots \\
&= \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta}
+ i \underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}
\end{aligned}
\]
因此有：
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]
1.2 正弦与余弦的复数形式
根据欧拉公式：
\[e^{ix} = \cos x + i \sin x
\]
\[e^{-ix} = \cos x - i \sin x
\]
我们可以推导出正弦与余弦的复数表示形式：
\[\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}
\]
\[\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
\]
二、复数的表示
2.1 代数形式
复数的一般形式为：
\[z = a + bi
\]
其中：
- \(a\)：实部，记作 \(\operatorname{Re}(z)\)
- \(b\)：虚部，记作 \(\operatorname{Im}(z)\)
- \(i\)：虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)
2.2 复平面（Argand Diagram）
复数 \(z = a + bi\) 可视为平面上的点 \((a, b)\)：
- 横轴：实部
- 纵轴：虚部
2.3 极坐标形式
-
模长：
\[|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2} \] -
辐角：
\[\theta = \arg(z) = \tan^{-1}(b/a) \] -
极坐标表示：
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \]
2.4 复数的指数形式
结合欧拉公式，复数的极坐标形式可以写为：
\[z = r e^{i\theta}
\]
其中：
- \(r = |z|\)：模长
- \(\theta = \arg(z)\)：辐角
三、相关性质
3.1 欧拉恒等式
当 \(\theta = \pi\) 时：
\[e^{i\pi} + 1 = 0
\]
连接五个基本数学常数：\(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\)。
3.2 复数乘法的几何意义
3.2.1 复数乘法运算
设复数 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\)，\(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)，则它们的乘积 \(z_1 z_2\) 满足以下性质：
-
模相乘
\[|z_1 z_2| = |z_1||z_2| \]即乘积的模等于模的乘积。
-
辐角相加
\[\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \]即乘积的辐角等于辐角的和。
-
指数运算法则
\[e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \]与实数指数法则一致。
3.2.2 几何解释
复数乘法 \(z_1 \cdot z_2\) 的几何意义是 对 \(z_1\) 进行缩放和旋转：
- 缩放：\(z_1\) 的模长变为 \(|z_1||z_2|\)（\(|z_2|\) 决定缩放比例）。
- 旋转：\(z_1\) 绕原点逆时针旋转 \(\arg(z_2)\) 弧度。
示例：
乘以 \(i = e^{i\pi/2}\) 相当于逆时针旋转 \(90^\circ\)（模不变）。
乘以 \(2i = 2e^{i\pi/2}\) 相当于拉伸 2 旋转 \(90^\circ\)。
注：由于复数乘法的交换性，缩放和旋转的顺序不影响最终结果（几何操作可交换）。
四、公式汇总
- \(i^2 = -1\)
- \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- \(\arg(z) = \tan^{-1}(b/a)\)
- \(z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta}\)
- \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
- \(e^{i\theta_1} \cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\)
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