考研数学-基本逻辑

1.常用命题及其形式

(1)全称命题：\(\forall\)x，均有A成立。如\(\forall\)x\(\in\)R，均有x²≥0成立。

注：其否定命题：\(\exists\)x，使得\(\overline{A}\)成立。如\(\exists\)x\(\in\)R，使得x²＜0。

(2)特称命题：\(\exists\)x，使得A成立。如\(\exists\)x\(\in\)R，使得x²≥0。

注：其否定命题：\(\forall\)x\(\in\)R，均有x²＜0。

(3)蕴式命题：A\(\Rightarrow\)B（若A成立，则B成立）。

注：(1)其否定命题：A成立且\(\overline{B}\)成立。如给出蕴式命题：若ab≠0，则a≠0。该命题为真命题，其否定命题为：ab≠0，且a=0。显然这个否定命题是假命题。
(2)其逆否命题：若B不成立，则A不成立，用数学符号表示为\(\overline{B}\)\(\Rightarrow\)\(\overline{A}\)。这是熟知的与原命题等价的命题形式。
(3)在蕴式命题中，存在否命题：\(\overline{A}\)\(\Rightarrow\)\(\overline{B}\)。需要说明的是，否命题只在蕴式命题中存在，其他命题中是不存在的。但是否命题没有意义，因为原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假。

(4)多元命题：\(\forall\)x，\(\forall\)y，均有A成立；或\(\forall\)x，\(\exists\)y，使得A成立。比如数列极限的定义就是多元命题，即"\(\lim\limits_{n \to \infty}\)\(x_n\)=a"\(\Leftrightarrow\)"\(\forall\)\(\varepsilon\)>0，\(\exists\)N>0，\(\forall\)n>N\(\Rightarrow\)|\(x_n\)-a|＜\(\varepsilon\)"。

注：其逆否命题："a不是{\(x_n\)}的极限"\(\Leftrightarrow\)"\(\exists\)\(\varepsilon\)>0，\(\forall\)N>0，\(\exists\)n>N\(\Rightarrow\)|\(x_n\)-a|≥\(\varepsilon\)"。

2.常用思路

如何套用上述各种命题？按照解题角度说，可分析如下。
(1)常规思路(\(P_1\))
①正向思路(\(P_{11}\))
从已知条件出发，按照所学过的基本方法、典范思路进行下去，最终得到结果或结论

注：(1)A\(\Rightarrow\)B，即：若A成立，则B成立，称A是B的充分条件。
(2)有时要分情况证明，如x＞0，x≤0这两种不同情况，确保证明的完整性。
(3)若命题是错误的，只需要举出一个反例即可。

②反向思路(\(P_{12}\))
从结论出发，反向思考：如果要得到此结果或结论A，按照所学过的基本方法、典范思路，只要B成立即可，那么为了得到B，继续推理，只要C成立即可，以此类推，直到推理至已知条件，因已知条件成立，则A成立，从而思路完成。

注：A\(\Leftarrow\)B，即若B成立，则A成立，称A是B的必要条件。

③双向思路(\(P_{13}\))
结合①，②，即从已知条件出发，尽量往下走；再从欲得结果或结论出发，尽量往上走，若推导过程衔接成立，则思路完成。

A\(\Leftrightarrow\)B，即：若A成立，则B成立；若B成立，则A成立，此时称A和B互为充分必要条件。

(2)反证思路(\(P_2\))
当欲证结论出现如下两种情形：①显而易见但不易说明时；②与常见形式对立时，一般可假设其对立结论(即否定命题)成立，推导出与已知成立的某条件矛盾，则思路完成。

反证法所给出的"否定命题"是推理中增加的一个强有力条件。

(3)数学归纳(\(P_3\))
涉及自然数n的命题A，包括数列的等式与不等式问题，n阶行列式的计算问题等，在试算n较小时的特殊情形后，增加n=k时A成立(第一数学归纳法)或者n<k+1时A成立(第二数学归纳法)这个强有力条件，推导n=k+1时A成立。

注：数学归纳法所设n=k时成立或n<k+1时成立是推理中增加的一个强有力的条件。

(4)逆否思路(\(P_4\))
给出命题T："若A成立，则B成立"，其逆否命题为S："若\(\overline{B}\)成立，则\(\overline{A}\)成立"。T与S等价，选择T或者S中更易进入思考程序的命题。
当然，命题U："若\(\overline{A}\)成立，则\(\overline{B}\)成立"与逆否命题V："若B成立，则A成立等价"，且T与V互为逆命题，T与U互为否命题。
用A\(\Rightarrow\)B还是用\(\overline{B}\)\(\Rightarrow\)\(\overline{A}\)来解决问题呢？这两个命题是同真同假的。也就是说，如果A\(\Rightarrow\)B是真命题，那么\(\overline{B}\)\(\Rightarrow\)\(\overline{A}\)也是真命题；如果\(\overline{B}\)\(\Rightarrow\)\(\overline{A}\)是真命题，那么A\(\Rightarrow\)B也是真命题，所以要选择A\(\Rightarrow\)B或\(\overline{B}\)\(\Rightarrow\)\(\overline{A}\)中更容易理解或更容易操作的。