算法第四章作业

贪心算法实战：区间选点问题的最优解探索

在算法学习路上，贪心算法绝对是个“个性鲜明”的存在。它没有动态规划那么多复杂的状态转移，思路直白到有点“一根筋”——每一步都捡当下看起来最好的选，但偏偏在不少经典问题上，能以极高效率找到全局最优解。区间选点问题就是其中之一，“用最少的点覆盖所有区间”这个需求，初看好像有点绕，但用对贪心策略，一下子就能豁然开朗。今天就结合我的学习笔记，把这个问题拆透：从问题本身到策略设计，再到为什么这个策略一定可行，最后附上可直接运行的代码，帮大家少走点弯路。

一、问题引入：什么是区间选点问题？

先把问题说清楚，避免后续理解跑偏：

给你n个在x轴上的闭区间，比如[1,3]、[2,5]这种，要求找出最少的点，让每个区间里都至少有一个点。打个比方就是，用最少的钉子把所有纸条都钉在墙上，每个纸条都得被钉子穿过才行。

举个直观例子：若给定区间 [1,3]、[2,5]、[4,6]，最少需要几个点？答案是 1 个——比如点 4，就能同时覆盖这三个区间；再比如区间 [1,2]、[3,4]、[5,6]，则需要 3 个点，每个区间各占一个。

这个问题的核心就是“找最少的点”，属于典型的优化问题。那为什么贪心能搞定它？关键就在于找到那个“每次选了都不亏”的局部最优决策。
二、贪心策略：怎么选点才最省？

贪心的核心思路就是“每次都选当下最优”，放到这个问题里，就是“选一个点，能覆盖尽可能多的区间”。那这个点该选在哪里呢？

我刚开始想的时候，也纠结过要不要选区间中间或者左端点。后来试了几个例子发现，选区间的右端点是最聪明的选择——因为后面的区间如果和当前区间有重叠，它们的右端点肯定不会比当前的小（后面会说为什么要先排序），选当前区间的右端点，能最大概率覆盖到后面的重叠区间。

梳理下来，完整的贪心策略就两步，特别好记：

1. 先排序：按区间右端点从小到大排

这一步是基础，千万别省。把所有区间按右端点升序排好，才能保证我们选的“当前区间右端点”是最小的那个，这样才能最大限度地覆盖后面的区间。如果不排序，直接随便选一个区间的右端点，很可能会错过很多重叠区间，最后选的点就多了。

比如上述例子 [1,3]、[2,5]、[4,6]，排序后还是本身；若区间是 [2,5]、[1,3]、[4,6]，排序后就变成 [1,3]、[2,5]、[4,6]。

2. 再选点：依次选当前区间的右端点

具体操作很简单，跟着步骤走就行：

• 第一步：把排序后第一个区间的右端点当成第一个选的点，记下来。

• 第二步：逐个看后面的区间。如果这个区间包含了上一个选的点，那就不用再选新的；如果不包含（也就是这个区间的左端点比上一个选的点还大），说明这个区间没被覆盖到，就把它的右端点当成新的选点记下来。

• 全部看完后，记下来的这些点就是最少的点集了。

3. 实操演示：用例子跑一遍

• 排序后：[1,3]、[2,5]、[4,6]

• 选第一个点：第一个区间右端点 3，S =

• 遍历第二个区间 [2,5]：2 ≤ 3 ≤ 5，已覆盖，不选新点。

• 遍历第三个区间 [4,6]：4 比 3 大，说明 3 覆盖不到这个区间，只能选它的右端点 6，此时点集是 {3,6}。这里插一句，之前有人问我“为什么不选 4 呢？4 能覆盖三个区间啊”。其实这里我之前举的例子有点小问题，正确的重叠区间例子应该是 [1,4]、[2,5]、[3,6]——这种情况下选 4 就能覆盖所有。这也能说明一个点：最优解的点集可能不唯一，但最少的点数量是固定的。我们的贪心策略求的是“最少数量”，至于是哪个点，只要满足条件都可以。

三、关键疑问：为什么这个策略一定最优？

很多人学贪心的时候都会有这个顾虑：“每次都选当下最好的，最后真的是全局最好的吗？” 这个担心很正常，所以我们需要证明一下——为什么选第一个区间的右端点，最后能得到最少的点集。这个证明不用太复杂，用“构造法”就能说清楚。

我们要证明的核心是：选排序后第一个区间的右端点，是构成最优解的其中一步。

证明思路（通俗版）

先做两个假设，方便理解：

• OPT：假设存在一个最优解，也就是最少的点集，记为 S_opt，里面有 k 个点（k 是最少数量）。

• G：我们用贪心策略选出来的点集，记为 S_greedy。

我们要证明的是：S_greedy 里的点数量也是 k，也就是说 G 也是最优解。

第一步：先看第一个区间。

排序后的第一个区间是 I₁ = [a₁, b₁]。既然 OPT 是最优解，那 S_opt 里肯定有一个点 x 是在 I₁ 里的——不然这个区间就没被覆盖，OPT 就不是可行解了，这和我们假设 OPT 是最优解矛盾。

第二步：比较 x 和我们贪心选的点 b₁。

情况 1：如果 x 就是 b₁，那太好了，说明我们贪心选的第一个点和最优解里的点是一样的，这一步没问题。

情况 2：如果 x 比 b₁ 小。这时候注意，我们已经把所有区间按右端点排序了，所以后面所有区间的右端点都不会比 b₁ 小。如果 x 能覆盖后面的某个区间，那 b₁ 肯定也能覆盖这个区间——因为 x < b₁ ≤ 后面区间的右端点，而且 x 已经在后面区间里了（aᵢ ≤ x），所以 aᵢ ≤ b₁ 肯定成立，b₁ 自然也在这个区间里。

这就意味着，我们可以把 OPT 里的 x 换成 b₁，得到一个新的点集 S_opt'。这个新点集和 OPT 里的点数量一样，而且也能覆盖所有区间，所以 S_opt' 也是最优解。

第三步：推广到所有区间。

解决了第一个区间的问题，剩下的没被 b₁ 覆盖的区间，其实就是一个更小的区间选点问题（子问题）。我们对这个子问题再用同样的贪心策略，依然能得到子问题的最优解。一步步推下去，最后我们选出来的 S_greedy，点数量和 OPT 一样，所以 G 也是最优解。

总结一下：选第一个区间的右端点这个贪心选择，是能构成最优解的，所以整个策略是可靠的。

四、时间复杂度：这个算法快不快？

算法的速度主要看两部分：排序和遍历。

1. 排序阶段：对 n 个区间按右端点排序，用快速排序、归并排序这些常用算法，时间复杂度是 O(n log n)。这是整个算法最费时间的地方。

2. 遍历阶段：排序完之后，逐个看一遍 n 个区间，每个区间只需要判断一次“上一个点能不能覆盖它”，这部分是 O(n)，很快。

所以整个算法的总时间复杂度是 O(n log n)。这已经是这个问题的最优速度了——因为基于比较的排序算法，最快就是 O(n log n)，而排序又是这个问题绕不开的步骤，所以没法再优化了。

五、代码实现：直接抄就能用

我用 Python 写了完整的实现，包含了异常处理和三个测试案例，大家可以直接复制到本地跑一跑，理解会更深刻。

def interval_point_selection(intervals):
    # 异常处理：若区间列表为空，返回空集
    if not intervals:
        return [], 0
    
    # 步骤1：按区间右端点升序排序
    intervals_sorted = sorted(intervals, key=lambda x: x[1])
    
    # 步骤2：迭代选点
    result = []
    # 选第一个区间的右端点
    result.append(intervals_sorted[0][1])
    
    # 遍历后续区间
    for i in range(1, len(intervals_sorted)):
        a_i, b_i = intervals_sorted[i]
        last_point = result[-1]
        # 若当前区间左端点 > 上一个选点，说明未覆盖，选当前区间右端点
        if a_i > last_point:
            result.append(b_i)
    
    return result, len(result)

 测试案例
if __name__ == "__main__":
    # 案例1：有重叠区间
    intervals1 = [[1,3], [2,5], [4,6]]
    points1, count1 = interval_point_selection(intervals1)
    print(f"案例1 区间：{intervals1}")
    print(f"最少点集：{points1}，点数量：{count1}\n")  # 输出：[3,6]，数量2
    
    # 案例2：无重叠区间
    intervals2 = [[1,2], [3,4], [5,6]]
    points2, count2 = interval_point_selection(intervals2)
    print(f"案例2 区间：{intervals2}")
    print(f"最少点集：{points2}，点数量：{count2}\n")  # 输出：[2,4,6]，数量3
    
    # 案例3：完全重叠区间
    intervals3 = [[1,5], [2,4], [3,3]]
    points3, count3 = interval_point_selection(intervals3)
    print(f"案例3 区间：{intervals3}")
    print(f"最少点集：{points3}，点数量：{count3}")  # 输出：[3]，数量1
    

六、延伸思考：贪心算法的“能”与“不能”

通过区间选点这个问题，其实能更清楚地看到贪心算法的本质，它不是万能的，但在适合的场景里效率极高。

1. 贪心能生效的两个关键

• 贪心选择性质：局部最优能凑出全局最优（这是最核心的，必须能证明，不然很容易用错）。

• 最优子结构：问题的最优解里，包含了它所有子问题的最优解（这个和动态规划是共通的，但贪心不用像 DP 那样存子问题的解）。
  2. 贪心的局限性：不是所有问题都能用

最典型的就是 0-1 背包问题。如果用“选价值密度最高的物品”这种贪心思路，很可能得不到最优解——比如一个价值高但占空间大的物品，选了之后剩下的空间放不下其他东西，总价值反而不如选几个小的。但如果是分数背包（物品可以切开来装），贪心就管用了，因为能把空间刚好用满。

另外，贪心策略特别“挑问题”。同样是区间问题，如果你想“用最少的区间覆盖整个目标区间”，那贪心策略就得改成“按左端点排序，每次选能覆盖当前起点且右端点最远的区间”，原来的选右端点策略就失效了。

七、最后总结

区间选点问题的贪心解法，核心就两句话：按区间右端点排序，依次选每个未覆盖区间的右端点。这个策略看起来简单，但背后需要证明它的正确性，这也是学习贪心算法的关键——不是死记硬背策略，而是理解“为什么这个局部最优能变成全局最优”。

我自己的经验是，学算法最好的方式就是“理解思路 + 动手实现 + 多练例子”。把这个问题搞懂之后，再去看哈夫曼编码、活动安排这些其他贪心问题，会发现思路都是相通的。

如果这篇笔记帮你理清了思路，欢迎点赞收藏～ 大家如果有其他觉得难理解的贪心问题，也可以在评论区留言，我们一起讨论！