leetcode : Maximal Rectangle & Maximum Subarray & Largest Rectangle in Histogram

1， Maximum Subarray

大致就是给一个int型数组，求一个长度最小为1的子数组，使得里面的数加起来和最大。

很经典的dp题，方法是对于每一个i，求出以i结尾的最大子数组。而求以i 为结尾的最大子数组的问题可以变成，求以i - 1为结尾的最大子数组的值max_(i - 1)，然后比较i 与max_(i - 1)中较大者。AC代码忽略~时间复杂度为O（n）

2，Maximal Rectangle I

给一个矩阵，求面积最小为1的子矩阵，使得里面的数加起来最大

将问题转化。假设它是m * n的矩阵，那么可以分别求开始于第i行，结束于第j行的矩阵的最大和。

这个问题就可以把每一列中的第i个数到第j个数的和求出来，放到一个数组里，然后变成问题1.

所以需要的时间复杂度为 

O（  m * n + (m-1) * n + ... n ） = O(m^2 * n )    //求所有开始于第i行，并结束于i, i＋1．．．m的矩阵的复杂度为 2(m -  i) * n  (一次加法求列和，一次dp求最大子数组)

 

3,Largest Rectangle in Histogram

求直方图的连续最大面积

从暴力求解的优化思路有两个，第一，假如某次计算以j为右边界，并且value[j+1]大于j，那么拿j + 1当右边界肯定比j好，即最大值绝对不会以j为右边界

而左边界呢,选个目前为止遇见的最小的就ok~

所以就是方法就是这样的

维护一个栈，

对于每一个项i，如果栈空则进栈，如果栈不空则比较，如果它比栈顶元素大则进栈，否则将栈中最大元素为右边界，分别以比该项大的每个元素作为左边界算面积。算完再把该项入栈。

最后要额外把0入栈~把以最小元素为左边界的那些面积给算了

这样做比起暴力求解的优化 就是对于那些不可能成为最大值的右边界 全部滤掉了~并且只比较了n次大小（因为将连续递增的项都存起来了~~~）

因为每个元素只会出栈一次，所以复杂度还是O(n)

4 Maximal Rectangle II

这次是给个由 1或 0 组成的矩阵，求全部由1组成的面积最大的矩形

这个问题很像问题1，类似的转换思想，只不过子问题变成了问题3。

分别求从第i行到下面所有行的最大矩阵，用一个数组维护直方图的高度，遇见0就置0，遇见1就自增一次，

每一行都要自增一次然后再求一次问题3.所以时间复杂度为

m * 2m * n + (m - 1) * 2m * n .. +2m * n = O(m^2 *n)

 

其实写算法题的时候，最好先思量一下暴力求解复杂度大概为多少，优化之后达到多少就可以了，暴力求解有哪些操作是可以优化掉的

关键字比较算法从n^2 到快排的n *logn 就已经到达极限了的说