【数量关系】第十七节：概率问题
概率问题的两类题型
①基本概率问题：
所有的结果 ÷ 所有的可能 （例如：抛骰子1/6）
②思想概率问题
由条件中多个已知概率问题求得未知概率的问题（只要在条件中出现具体概率）
①同时发生：相乘
②并列发生：相加
例题
S01：某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率为
A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、1∶6
思路：
基本概率问题。一共有6种可能，2种结果得：2/6
S02：甲乙两人相约骑共享单车运动健身。停车点现有9辆单车，分属3个品牌，各有2、3、4辆。假如两人选择每一辆单车的概率相同，两人选到同一品牌单车的概率约为：
思路：
求概率时，分子分母要同时有序或者同时无序。
所有可能C(2,9)，所有结果：C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)
方法二：选A车时是2/9，再选A车是1/8+选B车时是3/9，再选B车是2/8+选C车时是4/9，再选X车是3/8
L01：某市举行“新春杯”足球比赛，对16支参赛队伍进行小组赛分组抽签。抽签箱中分别装有红、黄、绿、蓝的小球各四个，抽到相同颜色小球的队伍进入同一小组。则第一支抽签队伍与第二支抽签队伍被分在同一小组的概率为（ ）。
A.
B.
C.
D.
思路：
谁和谁处在同一个小组称为：两人同组问题。
第一支队伍抽签没有概率。此时第二支队伍抽签还有15种可能，如果要和第一组同色则只有3种结果，得1/5
核心思想：一静一动。只需要看另外一个人。
方法二（排列组合）：所有可能C(2,16)，同一组选2个 C(2,4)×4，×4是因为有4组球同样情况。
G02：某市公安局从辖区2个派出所分别抽调2名警察，将他们随机安排到3个专案组工作，则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是：
A.
B.
C.
D.
思路：
假设警察a1a2，b1b2，3个空位。先分派a1a2b1，那么b2一共有3种可能，有2种结果不在同一派出所。
L02：某会议室共5排座位，每排座位数依次为10、9、8、7、6个，甲、乙两人随机选择座位入座，则他们左右相邻的概率：
A.不到2% B.在2%到5%之间 C.在5%到10%之间 D.高于10%
思路：
一共C(2,40)种可能。如果是6个坐，就5种结果，7个坐就6种....共35种结果。
此题不适用两人同组问题
L03：某基层机关有甲和乙两个办公室，共有10名员工。其中甲办公室人数为乙办公室人数的1.5倍，现从这10名员工中随机抽出2人借调到上级机关，问借调的人来自同一办公室的概率为：
A.
B.
C.
D.
思路：
所有可能为：C(2,10)，来自甲办公室结果为C(2,6)，+乙办公室结果为C(2,4)
L04：某驾校甲、乙、丙三位学员在科目二考试中能通过的概率分别为
、
、
，那么，这三位学员中恰好有两位学员通过科目二考试的概率为：
A.
B.
C.
D.
思路：
计算甲乙通过，丙没通过；2/3*1/2*3/5 = 6/30，再计算乙丙通过，丙甲通过的概率相加即可。
L05：小李和小张参加七局四胜的飞镖比赛，两人水平相当，每局赢的概率都是50%。如果小李已经赢2局，小张已经赢1局，最终小李获胜的概率是？
思路：
分类讨论：如果在第5局胜出，则4,5局都要赢概率为1/2×1/2；
如果在第6局胜出，则4,5局选1局赢，剩下得输，第6局赢，得C(1,2)×1/2×1/2 ×1/2
如果在第7局胜出，则4,5,6局选1局赢，剩下得输，第7局赢，得C(1,3)×1/2×1/2×1/2 ×1/2
L06：某仓库存放三个厂家生产的同一品牌洗衣液，其中甲厂生产的占20%，乙厂生产的占30%，剩余为丙厂生产的，且三个厂家的次品率分别为1%，2%，1%，则从仓库中随机取出一件是次品的概率为：
A.1% B.2% C.1.6% D.1.3%
思路：
抽到甲且次品概率为:20%*1%，....,最后相加。
G01：苹果有每盒3个、5个和8个三种不同的包装。如果随机拿4盒，苹果总个数多于20个且为偶数的概率：
A . 低于25% B . 在25%~30%之间 C . 在30%~35%之间 D . 高于35%
思路：
不考虑概率，随机取4盒一共有3^4共81种拿法，其中3553和3355是不同的拿法。
4盒且是偶数拿法有8888：1种，8855：C(2,4)种【先选2个位置放8C(2,4)，剩下就只能放5】，8833：C(2,4)种、8835：C(2,4)×A(2,2)种
母题研究
1、某单位有3项业务要招标，共有5家公司前来投标，且每家公司都对3项业务发出了投标申请，最终发现每项业务都有且只有1家公司中标。如5家公司在各项业务中中标的概率均相等，问这3项业务由同一家公司中标的概率为( )。
A.1/25 B.1/81 C. 1/125 D. 1/243
思路：
总的可能为5*5*5=125，中标结果为同一家的可能有5种。
2、A、B两地间有三种类型列车运行，其中高速铁路动车组列车每天6车次，普通动车组列车每天5车次，快速旅客列车每天4车次。甲、乙两人要同一天从A地出发前往B地。假设他们买票前没有互通信息，而且火车票票源充足，问他们买到同一趟列车车票的概率有多大？
A . 小于10% B . 10%到20%之间 C . 20%到25%之间 D . 25%到30%之间
思路：
两人同组问题：一静是甲先买了一趟，乙一共有15种可能，那么买到同一趟是1/15
方法二：排列组合，要么同时买到第一趟要么第二趟,...一共15种结果。
甲有15种坐车可能×乙15种一共225种可能。
3、抽奖箱子里剩下8张奖券，其中5张有奖，3张无奖，小王有两次抽奖机会，他不放回地依次抽取两张奖券，则这两张奖券中一张有奖一张无奖的概率是：
思路：
分类讨论：第一张有奖第二张没奖：5/8×3/7 = 15/56
第一张没奖第二张有奖：3/8×5/7 = 15/56
4、一张纸上画了5排共30个格子，每排格子数相同。小王将1个红色和1个绿色棋子随机放入任意一个格子（2个棋子不在同一格子），则2个棋子在同一排的概率：
A.不高于15% B.高于15%但低于20% C.正好为20% D.高于20%
思路：
两人同组问题，先确定一个棋子位置。另外一个棋子一共有29种放法，有5种在同一排。
5、某学校举行迎新篝火晚会，100名新生随机围坐在篝火四周，其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
思路：
两人同组问题，2/99
6、箱子中有编号为1~10的10个小球，每次从中抽出1个记下编号后放回，如果重复3次，则3次记下的小球编号乘积是5的倍数的概率是多少：
A . 43.2% B . 48.8% C . 51.2% D . 56.8%
思路：
5的倍数就是抽到5或者抽到10，反向讨论不是5的倍数，即抽不到5和10的概率为0.8，抽3次一共0.8^3=0.512
7、在小李等车期间，有豪华型、舒适型、标准型三辆旅游车随机开过。小李不知道豪华型的标准，只能通过前后两辆车进行对比。为此，小李采取的策略是不乘坐第一辆，如果发现第二辆比第一辆车更豪华就乘坐；如果不是，就乘坐最后一辆。那么，他能乘坐豪华型旅游车的概率是
设豪华型、舒适型、标准型为C、B、A。一共有A(3,3)=6种排序可能。
符合的排列为ACB、BCA、BAC3种。所以1/2
8、某次知识竞赛试卷包括3道每题10分的甲类题，2道每题20分的乙类题以及1道30分的丙类题。参赛者赵某随机选择其中的部分试题作答并全部答对，其最终得分为70分。问赵某未选择丙类题的概率为多少：
A . 1/3 B . 1/5 C . 1/7 D . 1/8
思路：
答对甲(3,10分)，乙(2,20分)，丙(1,30分)题目的数量选择有021，211，320
其中211包含了，从甲3种中选择2道,C(2,3)，从乙2种中选择1道,C(1,2)，共6种可能。加起来一共8种可能。
9、两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队的主场，第二场在乙队的主场。已知甲队主场赢球概率为0.7，客场赢球概率为0.3。问甲队赢得这个系列赛的概率为多少？
A.0.512 B.0.768 C.0.7 D.0.812
思路：
三场两胜，分类讨论，1,2场赢：0.7*0.5，1,3场赢：0.7*0.5*0.7，2,3场赢：0.3*0.5*0.7
10、A、B、C三个厂家生产同一种乒乓球，不合格率分别为1%、2%和4%。现将三个厂家的产品按6∶3∶1的比例均匀混合后装入集装箱，从该箱中随机抽出1只乒乓球进行检测，若检测结果为不合格，则该只乒乓球是B厂生产的概率是：
A.0.3 B.0.375 C.0.4 D.0.425
思路：
假设一共有1000个球，则ABC分别有600,300,100，不合格有6,6,4。抽到B厂不合格有6/16
11、在一次产品质量抽查中，某批次产品被抽出10件样品进行检验，其中恰有两件不合格品，如果对这10件样品逐件进行检验，则这两件不合格品恰好在第五次被全部检出的概率是：
A.4/45 B.2/45 C.1/45 D.1/90
思路：
不合格品一共有C(2,10)=45种放法。第5次一定是不合格。所以第一个不合格品一定要在前4次检查出，有4种结果。
