【数量关系】第十五节：边端问题

边端问题的两类题型

　　①植树问题

　　②方阵问题

 

线性植树：（两端不封闭）

　　棵树 = 总长 ÷ 间距 + 1（算头算尾要加一）（总长 ÷ 间距 求出的是空数。100÷20=5个空）

　　总长 = （棵树 - 1 ）× 间距   （棵树比空数多一个。所以要减一）

 

环形植树：

　　棵树 = 总长 ÷ 间距　　（棵树 = 空数）

 

楼间植树：（两栋楼之间植树，相当于少了头尾两颗)

　　棵树 = 总长 ÷ 间距 - 1　　（不算头不算尾要减少一）

 

方阵问题：

　　每边人数 = 4边总人数÷ 4 + 1

　　方阵的外层比里层每边多2人。

　　方阵的外层比里层共多8人。

 

例题：

S01：某机构计划在一块边长为18米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔2米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要( )面彩旗。

　　　　A. 32 　　 B. 36　　 C. 44 　　D. 48

 

S02：参加某运动会的全体运动员在开幕式上恰好排成一个正方形，有两行两列的运动员离场后，运动员人数减少64人，则参加该运动会的运动员人数为：

　　　　A . 225 　　B . 256 　　C . 289 　　D . 324

思路：

　　两行两列要理解成最外圈的人。64÷4 + 1= 17*17 = 289

 

L01：某条道路进行灯光增亮工程,原来间隔35米的路灯一共有21盏,现要将路灯的间隔缩短为25米,那么有( )盏路灯无需移动。

　　　　A. 2 　　B. 3 　　C. 4 　　D. 5

思路：

　　不需移动的位置就是最小公倍数的位置，求最小公倍数

　　700÷175 + 1 = 5

 

L02：有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块。将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共有( )块。

　　　　A．180 　　B．196 　　C．210 　　D．220

思路：

　　400 = 20 * 20 ，这是一个20*20的正方形，最外层一共有20*4-4 = 76块砖。

　　最外层和里层差8块，76 -> 口 -> 60 -> 44 -> 28 -> 12 ，相当于公差是16的等差数列。44*5 = 220

 

补充：

　　等差数列求和：，   首项末项的平均数

　　求项数n：，

　　　　　　　

　　等比数列求和：

　　求项数n：

　　

　　自然数列：1+2+...+n = n×(n+1) ÷2

 

G01：一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50米。林某每天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行70步，每步大约50厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道两旁栽种的梧桐树共有多少棵?

　　　　A.21　　B.22　　C.42　　D.44

思路：

　　70*0.5*30 = 1050米，1050÷50 + 1 = 22 *2 = 44

 

G02：某高中学校举行运动会，高一、高二、高三学生列成方队，每个年级队伍均为240人，分成6个竖列依次行进。高一队伍前后每人间隔1米，高二队伍前后每人间隔1.5米，高三队伍前后每人间隔2.5米。每个年级队伍之间间隔5米，所有年级队伍的行进速度均为60米每分钟，则三个年级队伍通过35米长的主席台需要（        ）分钟。

　　　　A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.6

思路：

　　通过主席台 = 队伍长度 + 主席台长度

　　40人 39个人空 -> （39*1 + 39*1.5 + 39*2.5 + 2*5 + 35） ÷ 60

 

母题研究：

1、某单位两座办公楼之间有一条长204米的道路，在道路起点的两侧和终点的两侧已栽种了一棵树。现在要在这条路的两侧栽种更多的树，使每一侧每两棵树之间的间隔不多于12米。如栽种每棵树需要50元人工费，则为完成栽种工作，在人工费这一项至少需要做多少预算？

　　　　A.800元　　B.1600元　　C.1700元　　D.1800元

思路：

　　楼间植树问题，204÷12 - 1 = 17 -1 =16

 

2、李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从第一棵树走到第15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树时共用了30分钟。李大爷步行到第几棵树时就开始往回走？　　

　　　　A.32　　B.35　　C.34　　D.33

思路：

　　第一棵走到第15棵一共有14个空，花了7分钟，所以1分钟走2个空。

　　从第一棵树走到第x棵树，再从第x棵树走到第5棵树。

　　走了 x-1个空 + x-5 个空。 (x-1)+(x-5) = 60 ,得x=33

 

3、环保部门对一定时间内的河流水质进行采样，原计划每41分钟采样1次，但在实际采样过程中，第一次和最后一次采样的时间与原计划相同，每两次采样的间隔变成20分钟，采样次数比原计划增加了1倍。问实际采样次数是多少次？

　　　　A.22　　B.32　　C.42　　D.52

思路：

　　原计划每41分钟采样1次 = 间隔41米一棵树 ，第一次和最后一次采样的时间与原计划相同 = 马路长度不变，变成20米一棵树

　　X - 1 = 空数，(X - 1) × 41 = (2X -1) × 20

 

4、某条道路的一侧种植了25棵杨树，其中道路两端各种有一棵，且所有相邻的树距离相等。现在需要增种10棵树，且通过移动一部分树（不含首尾两棵）使所有相邻的树距离相等，则这25棵树中有多少棵不需要移动位置？

　　　　A.3　　B.4　　C.5　　D.6

思路：

　　25棵树 = 24个空，35棵树 = 34个空

　　设马路长度 为24与34最小公倍数 = 408米。

　　17米每棵，12米每棵。最小公倍数204米。408÷204 + 1 = 3 

 

5、施工队要在一东西长600米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊灯，根据施工要求，必须在距西墙375米处安装一盏，并且各吊灯在东西墙之间均匀排列（墙角不能装灯）。该施工队至少需要安装多少盏吊灯？

　　　　A.6　　B.7　　C.8　　D.9

思路：

　　求375与225最大公约数：75。

　　楼间植树问题 = 600 ÷ 75 -1