【P2280 [HNOI2003]激光炸弹】二维前缀和完整解题

一、题意分析

1. 题目条件

1. 平面上存在 $n$ 个目标，每个目标坐标 $(x,y)$，拥有价值 $v$，同一坐标可叠加多个目标价值；
2. 激光炸弹爆炸范围是边长为 $m$、边平行坐标轴的正方形；
3. 规则：落在正方形四条边上的目标不会被摧毁，只有正方形内部的目标才计入总价值；
4. 目标：求投放一颗炸弹，能摧毁的目标总价值最大值。

2. 样例解析

输入：

2 1
0 0 1
1 1 1

正方形边长 $m=1$，只有严格处于正方形内部的点才会被炸毁。

我们把所有坐标 $+1$ 偏移，原 $(0,0)$ 变为 $(1,1)$；当枚举右下角 $(1,1)$ 时，对应查询边长为1的矩形，区域内仅包含点 $(1,1)$，总价值为1，也就是样例输出。

点 $(1,1)$ 原坐标是 $(1,1)$，会落在边长为1的正方形边界上，无法选取。因此全局最大总价值为1。

3. 模型转化

边长为 $m$、不含边界的正方形，等价于：右下角为 $(i,j)$、左上角为 $(i-m,j-m)$ 的开区间矩形。

坐标整体加1偏移后，我们只需要查询左上角 $(i-m+1,j-m+1)$、右下角 $(i,j)$ 的闭矩形，刚好对应所有严格在正方形内部的点。

问题转化为经典静态二维矩形求和，使用二维前缀和求解。

二、核心算法：二维前缀和

1. 二维前缀和定义

设 $s[i][j]$ 代表从左上角 $(1,1)$ 到右下角 $(i,j)$ 整个矩形内所有目标的总价值。

递推公式：
$$
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + val(i,j)
$$

• $s[i-1][j]$：上方矩形总和；
• $s[i][j-1]$：左侧矩形总和；
• $s[i-1][j-1]$：左上角区域被重复计算，需要减去；
• $val(i,j)$：当前坐标点叠加的目标价值。

2. 固定边长矩形求和公式

对于右下角 $(i,j)$、边长为 $m$ 的矩形，左上角坐标为 $(i-m,\ j-m)$，区域总价值：
$$
sum = s[i][j] - s[i-m][j] - s[i][j-m] + s[i-m][j-m]
$$

三、完整解题步骤

步骤1：初始化与读入数据

1. 定义二维数组s存储坐标价值与前缀和，数组上限5005，覆盖坐标最大5000的范围；
2. 读取目标总数 $n$、正方形边长 $m$；
3. 循环读取每个目标的坐标 $x,y$、价值 $v$：
   • 执行 x++, y++ 坐标偏移，将原0开头坐标转为从1开始，规避前缀和下标0的边界判断；
   • 在s[x][y]上累加价值，处理同一坐标多个目标的叠加情况。

步骤2：预处理全局二维前缀和

双重循环遍历全部坐标范围（1~5001），套用二维前缀和递推公式，一次性预处理出所有矩形的总价值。

预处理完成后，任意矩形区域的总价值都可以在 $O(1)$ 时间内算出。

步骤3：枚举所有合法正方形，统计最大价值

1. 枚举正方形右下角坐标 $i、j$，循环起点设置为 $m$，保证左上角坐标 $i-m、j-m$ 不会小于0，避免数组越界；
2. 对每一组右下角，代入矩形求和公式，计算当前正方形能炸毁的目标总价值；
3. 使用变量res持续记录遍历过程中出现的最大总价值。

步骤4：输出结果

遍历全部合法正方形后，res存储全局最优解，打印输出。

四、代码分段讲解

1. 常量与全局数组

const int N = 5005;
int n, m;  // n个目标 边长为m的正方形 
int s[N][N];  // 价值二维前缀和数组

• $N=5005$：题目坐标最大值为5000，偏移后最大下标5001，数组预留安全空间；
• s数组复用：先存储单点目标价值，预处理后存储前缀和。

2. 读入数据+坐标偏移

for(int i=0; i<n; i++){
    int x, y, v;
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
    x++,y++; // 坐标+1，消除下标0
    s[x][y]+=v;
}

• x++,y++ 是关键优化，省去对 $i=0/j=0$ 的特殊边界判断；
• s[x][y] += v：多个目标在同一坐标时，价值直接累加。

3. 二维前缀和预处理

for(int i=1; i<=5001; i++){
    for(int j = 1; j<=5001; j++){
        s[i][j] += s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    }
}

严格套用二维前缀和递推公式，完成全图预处理。

4. 枚举所有正方形求最大值

int res = 0;
for(int i=m;i<=5001; i++){
    for(int j=m; j<=5001; j++){
        res = max(res, s[i][j]-s[i-m][j]-s[i][j-m]+s[i-m][j-m]);
    }
}

1. 循环从m开始，保证左上角下标不越界；
2. 代入固定边长矩形求和公式，计算当前正方形总价值；
3. res = max(res, ...) 不断更新全局最优答案。

5. 输出

printf("%d\n",res);

打印一颗炸弹能炸毁的最大总价值。

五、完整代码实现

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 5005;
int n, m;
int s[N][N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    // 读入数据并坐标偏移
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int x, y, v;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
        x++, y++; // 坐标+1，消除下标0
        s[x][y] += v;
    }
    
    // 预处理二维前缀和
    for(int i = 1; i <= 5001; i++) {
        for(int j = 1; j <= 5001; j++) {
            s[i][j] += s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];
        }
    }
    
    // 枚举所有正方形求最大值
    int res = 0;
    for(int i = m; i <= 5001; i++) {
        for(int j = m; j <= 5001; j++) {
            int sum = s[i][j] - s[i-m][j] - s[i][j-m] + s[i-m][j-m];
            res = max(res, sum);
        }
    }
    
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

六、复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\max(5001^2, n))$

  • 读入数据：$O(n)$
  • 预处理前缀和：$O(5001^2)$
  • 枚举正方形：$O((5001-m)^2)$
  • 总体复杂度由预处理决定，约为 $2.5 \times 10^7$ 次操作，在1秒内可完成

• 空间复杂度：$O(5005^2)$，约为 $25 \times 10^6$ 个int，约100MB，在题目限制内

七、题型总结

1. 适用场景：静态二维网格、无修改操作、大量矩形求和查询；

2. 核心要点

   • 坐标偏移：把0起点坐标转为1起点，简化前缀和边界逻辑；
   • 几何转化：不含边界的正方形等价固定边长矩形查询；

3. 模板通用性：二维前缀和是信奥基础模板，可拓展到任意大小矩形求和问题；

4. 拓展区分：如果题目存在单点、区间修改操作，则不能使用前缀和，需改用二维树状数组/二维线段树。

八、常见错误与调试技巧

1. 数组越界

• 错误：循环边界处理不当，访问s[-1][j]或s[i][-1]
• 解决：确保所有下标从1开始，枚举时从m开始

2. 坐标偏移遗漏

• 错误：忘记执行x++, y++，导致前缀和计算错误
• 解决：在读入数据后立即偏移

3. 价值叠加处理

• 错误：同一坐标多个目标时使用赋值而非累加
• 解决：使用+=而非=

4. 边界条件

• 当$m=0$时，需要特殊处理（但题目保证$m \geq 1$）
• 当$m > 5000$时，炸弹覆盖整个区域，答案等于所有目标价值总和

九、测试用例

测试1：样例输入

2 1
0 0 1
1 1 1

输出：1

测试2：边界测试

1 5000
0 0 100

输出：100

测试3：多目标叠加

3 2
1 1 10
1 1 20
2 2 30

输出：60（(1,1)和(2,2)都在边长为2的正方形内）

测试4：大范围测试

100 10
// 随机生成100个目标

需要验证算法效率

十、学习建议

1. 掌握前置知识：一维前缀和 → 二维前缀和 → 三维前缀和
2. 练习题目：
   • P1719 最大加权矩形
   • P2004 领地选择
   • P3406 海底高铁（一维前缀和应用）
3. 拓展学习：
   • 差分数组与前缀和的互逆关系
   • 二维树状数组（支持单点修改）
   • 二维线段树（支持区间修改查询）

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总结：本题是二维前缀和的经典应用，关键在于理解坐标偏移的几何意义和前缀和的递推公式。掌握这个模板后，可以解决大量类似的静态矩形求和问题。