【P8218 求区间和】一维前缀和入门完整题解博客

一、题目题意

给定长度为 $n$ 的整数序列，再给出 $m$ 次区间询问，每次给出区间左右端点 $l,r$，输出区间 $[l,r]$ 内所有数字的总和。

样例解读

输入：

4
4 3 2 1
2
1 4
2 3

序列：$[4,3,2,1]$

1. 区间 $[1,4]$：$4+3+2+1=10$
2. 区间 $[2,3]$：$3+2=5$

输出两行依次为 $10、5$。

二、核心算法：一维前缀和

1. 前缀和定义

定义前缀和数组 $s$，其中 $s[i]$ 代表原数组前 $i$ 项的总和：

$$
s[i] = a_1 + a_2 + \dots + a_i
$$

递推公式：

$$
s[0]=0,\quad s[i] = s[i-1] + a[i]
$$

2. 区间和计算公式

对于任意区间 $[l,r]$，区间总和等于「前 $r$ 项和」减去「前 $l-1$ 项和」：

$$
sum(l,r) = s[r] - s[l-1]
$$

原理：$s[r]$ 包含 $1\sim r$ 全部数字，$s[l-1]$ 包含 $1\sim l-1$ 全部数字，两者相减恰好剩下 $l\sim r$ 的数字之和。

3. 算法优势

1. 预处理仅需 $O(n)$ 时间；
2. 每次区间查询仅 $O(1)$ 常数时间；
3. 对比暴力每次循环累加 $O(n)$ 查询，海量询问下效率提升巨大。

三、完整AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;
int a[100005], s[100005];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    return 0;
}

四、分步解题流程

步骤1：输入序列长度 $n$，读入原数组 $a$

循环从 $i=1$ 到 $n$ 读取每个数字，同步计算前缀和数组 $s$：

• $s[0]$ 程序默认初始为0；
• 每一步 $s[i] = s[i-1] + a[i]$，完成预处理。

以样例数据演示前缀和数组生成：
$a[1]=4,\ a[2]=3,\ a[3]=2,\ a[4]=1$

$s[0]=0$

$s[1]=s[0]+4=4$

$s[2]=s[1]+3=7$

$s[3]=s[2]+2=9$

$s[4]=s[3]+1=10$

步骤2：输入询问次数 $m$

循环处理每一组询问，每次读入区间端点 $l、r$。

步骤3：套用公式计算区间和并输出

使用公式 $s[r]-s[l-1]$ 快速得到答案：

1. 询问 $1\ 4$：$s[4]-s[0] = 10-0=10$
2. 询问 $2\ 3$：$s[3]-s[1] = 9-4=5$

五、代码逐段讲解

1. 数组定义

   int a[100005], s[100005];
   

   数组开到100005，适配题目数据范围；下标从1开始，规避边界 $l=1$ 时 $l-1=0$ 的特殊判断。

2. 前缀和预处理循环

   for (int i = 1; i <= n; i++) {
       scanf("%d", &a[i]);
       s[i] = s[i - 1] + a[i];
   }
   

   边读入原数组，边递推计算前缀和，一次遍历完成预处理。

3. 批量处理区间询问

   for (int i = 1; i <= m; i++) {
       int l, r;
       scanf("%d%d", &l, &r);
       printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
   }
   

   每次查询直接通过前缀和差值算出区间和，无需再次遍历原数组。

六、题型总结

1. 适用场景：静态数组（无单点修改）、大量区间求和查询；
2. 模板记忆点：前缀和递推 $s[i]=s[i-1]+a[i]$，区间公式 $s[r]-s[l-1]$；
3. 拓展延伸：二维前缀和、差分（支持区间修改+单点查询）是该知识点的延伸进阶内容。