P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G｜01 分数规划 + 01 背包限制重量下界 完整题解

一、题目概述

题意翻译

有 $n$ 头奶牛，每头奶牛拥有重量 $w_i$、才艺值 $t_i$，选出一组奶牛满足两个条件：

1. 所选奶牛总重量 $\ge W$
2. 最大化比值 $\frac{\sum t_i}{\sum w_i}$（总才艺 / 总重量）

输出要求：将最优比值 $\times 1000$ 后向下取整输出整数。

补充提示

浮点精度误差会导致本该为整数的结果算成略小的值，输出前需要加极小偏移避免取整出错。

样例解读

输入：

3 15
20 21
10 11
30 31

可选组合：

• 选第 1 头和第 2 头：重量 $10+20=30 \ge 15$，总才艺 $21+11=32$
• 比值 $32/30 \approx 1.06666$
• $1.06666 \times 1000 = 1066.66$，向下取整输出 $1066$，与样例输出匹配

数据模型定位

• 分式最大化：标准 01 分数规划，使用浮点二分
• 约束条件：总重量至少 $W$，不是恰好 $W$，需要改造 01 背包处理下界限制

二、核心数学推导（分数规划）

我们二分猜测比值 $x$，目标判断是否存在合法选牛方案满足：
$$
\frac{\sum t_i}{\sum w_i} \ge x
$$

两边同乘正数 $\sum w_i$，变形得到判定不等式：
$$
\sum t_i - x \cdot \sum w_i \ge 0
\Rightarrow \sum (t_i - x \cdot w_i) \ge 0
$$

令每头牛的价值为 $val_i = t_i - x \cdot w_i$，问题转化：

选出若干奶牛，总重量 $\ge W$，使 $\sum val_i$ 尽可能大，判断最大值是否 $\ge 0$

• 最大值 $\ge 0$：说明存在方案比值 $\ge x$，可以尝试更大的 $x$
• 最大值 $< 0$：当前 $x$ 过高，无法达到，需要缩小 $x$

单调性成立，因此可以使用浮点二分逼近最优解。

三、特殊背包处理：总重量 $\ge W$

常规 01 背包只能处理「总重量不超过 $W$」，本题要求总重量至少 $W$，优化思路：

1. 背包数组 $f[j]$ 定义：总重量恰好为 $j$ 时，$\sum val_i$ 的最大值
2. 对于重量超过 $W$ 的所有情况，统一合并存入 $f[W]$：
   • 即当 $j + w_i > W$ 时，下标直接取 $W$，不再记录更大重量
3. 最终只需要看 $f[W]$ 的最大值：代表所有总重量 $\ge W$ 的组合里，$\sum val_i$ 的最优值

这样背包容量只需要开到 $W$，大幅降低时间、空间开销。

背包转移公式

遍历每一头奶牛，倒序枚举容量（01 背包防重复选取）：
$$
k = \min(W, j + w_i)
$$
$$
f[k] = \max(f[k], f[j] + t_i - x \cdot w_i)
$$

四、完整 AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, W, w[255], t[255];
double f[1005];

bool check(double x) {
    // 初始化负无穷，表示不可达
    for(int i = 1; i <= W; i++) f[i] = -1e9;
    f[0] = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        // 01背包倒序枚举
        for(int j = W; j >= 0; j--) {
            if(f[j] == -1e9) continue;
            int k = min(W, j + w[i]);
            f[k] = max(f[k], f[j] + t[i] - x * w[i]);
        }
    }
    return f[W] > 0;
}

double find() {
    double l = 0, r = 1000;
    // 精度1e-5，满足×1000后取整无误差
    while(r - l > 1e-5) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) l = mid;  // 当前x可行，放大左边界
        else r = mid;
    }
    return r;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &W);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &t[i]);
    }
    // +1e-8 规避浮点精度向下取整bug
    printf("%d\n", int(find() * 1000 + 1e-8));
    return 0;
}

五、代码逐段分步讲解

1. 全局变量定义

int n, W, w[255], t[255];
double f[1005];

• $n \le 250$：奶牛数量上限，数组开 255 足够
• $W \le 1000$：重量下界限制，背包容量数组 $f$ 开到 1005
• double f[]：存储对应重量下 $\sum (t_i - x \cdot w_i)$ 的最大值，浮点型适配二分的 $x$

2. check(x) 二分判定函数（核心背包）

bool check(double x) {
    for(int i = 1; i <= W; i++) f[i] = -1e9;
    f[0] = 0;  // 重量0，不选任何牛，总和为0
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        // 01背包倒序，避免重复选取同一头牛
        for(int j = W; j >= 0; j--) {
            if(f[j] == -1e9) continue;
            int k = min(W, j + w[i]);
            f[k] = max(f[k], f[j] + t[i] - x * w[i]);
        }
    }
    // f[W]存储所有总重量≥W的最优总和
    return f[W] > 0;
}

执行流程：

1. 初始化数组为极小值，仅 $f[0] = 0$（初始状态：0 重量 0 收益）
2. 枚举每一头奶牛，倒序遍历背包容量
3. 新重量超过 $W$ 则压缩到下标 $W$，更新该位置最大收益
4. 最终判断：所有总重量 $\ge W$ 的组合最大收益是否大于 0

3. find() 浮点二分主逻辑

double find() {
    double l = 0, r = 1000;
    while(r - l > 1e-5) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    return r;
}

• 二分区间 $[0, 1000]$：才艺与重量比值最大不超过 1000
• 精度阈值 $1e-5$：最终要放大 1000 倍，该精度可以保证小数点后三位准确
• 分支逻辑：
  • check(mid) = true：存在方案满足比值 $\ge mid$，更新左边界，尝试更大比值
  • check(mid) = false：$mid$ 过大，缩小右边界

4. main 输入输出与精度坑处理

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &W);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &t[i]);
    }
    // +1e-8 解决浮点向下取整误差
    printf("%d\n", int(find() * 1000 + 1e-8));
    return 0;
}

重点细节：find() * 1000 + 1e-8
题目提示的精度 bug 解决方案：由于浮点存储存在微小误差，真实值 1.066 会被计算为 1.0659999999，直接转 int 会变成 1065；加上极小值 $10^{-8}$ 后修正误差，向下取整结果正确。

六、算法时间复杂度分析

• 浮点二分：循环约 50 次（区间 0~1000，精度 $1e-5$）
• 单次背包：$O(n \times W)$，$n \le 250, W \le 1000$，单次仅 25 万次运算
• 总复杂度：$O(50 \times n \times W)$，数据范围下完全无超时风险

七、题型拆解与同类对比

1. 01 分数规划两类经典约束

• 固定选 k 件：POJ2976 Dropping tests → 排序贪心取前 n-k 项
• 重量下界 / 上界约束：本题 Talent Show → 结合 01 背包求解最值

2. 背包变形技巧拓展

• 重量上限限制：标准 01 背包，容量 $W$，只存 $\le W$ 的重量
• 重量下限限制：本题压缩超过 $W$ 的重量统一存入 $f[W]$，节省空间与计算量
• 同时有上下界：分段背包分别处理

八、踩坑避坑总结

1. 背包初始化：必须设为负无穷，不能初始 0，否则会误判不可达状态
2. 倒序遍历背包：01 背包标准要求，正序会变成完全背包，重复选牛
3. 重量压缩到 $W$：不能直接开更大数组，否则空间超时
4. 浮点精度取整：输出前必须加极小偏移值，否则样例 / 边界数据会 WA
5. 二分分支方向：本题最大化比值，可行时更新左边界 $l = mid$，不要写反

九、全文总结

模型核心

01 分数规划 + 变形 01 背包，是提高组二分 + DP 综合经典题

解题三步固定流程

1. 数学变形分式：构造 $val_i = t_i - x \cdot w_i$
2. 浮点二分猜测比值 $x$
3. 改造 01 背包处理「总重量 $\ge W$」约束，判断最优收益是否 $\ge 0$

应试价值

融合二分、动态规划、浮点精度三大考点，是 NOIP/CSP 提高组高频综合题型，熟练掌握可打通分数规划 + 背包类所有题目。