【洛谷 P1163】 银行贷款｜浮点二分答案：金融计算

一、题目信息

题目链接：洛谷 P1163 银行贷款

题意简述：
已知贷款本金 $w_0$，每月固定还款 $w$，一共分 $m$ 个月还清。利息按月复利计算：每月剩余本金先乘 $(1+\text{月利率}x)$，再减去当月还款额。求月利率，输出时转为百分比，四舍五入保留 1 位小数。

数据范围：

• 题目保证月利率不超过 $300%$，即浮点二分右边界开到 10 完全够用。

样例推演（输入：1000 100 12）：
本金 1000，每月还 100，分 12 个月还清，最终算出月利率约 $0.029$，乘以 100 输出 $2.9$。

二、核心解题思路：浮点二分答案

1. 题型判定：二分答案适用条件

本题是典型实数域二分（浮点二分），满足单调性：

• 若月利率 $x$ 可行（还完 $m$ 个月后剩余本金 $\ge 0$），则所有大于 $x$ 的利率一定更难还清，不可行；
• 若 $x$ 不可行（最后本金为负数，代表每月还款不足以覆盖利息，$m$ 个月还不完），则所有更小的利率都可行。

单调性完全成立，因此可以二分枚举月利率，通过 check() 函数验证当前利率是否合法，不断缩小区间逼近最优解。

2. 校验函数 check(x) 数学逻辑

设当前二分猜测的月利率为 $x$，模拟 $m$ 个月还款流程：

$$
s_{i} = s_{i-1} \times (1+x) - w
$$

• 初始 $s_0 = w_0$（贷款本金）；
• 循环执行 $m$ 次月度复利 + 扣款；
• 最终判断：$s_m \ge 0$ 代表该利率下 $m$ 个月刚好 / 能还清，返回 true；否则返回 false。

3. 浮点二分边界与精度控制

• 左边界 $l=0$：利率最低为 0，无利息；
• 右边界 $r=10$：对应 $1000%$，题目限制答案不超过 $300%$，区间足够；
• 循环终止条件：r - l > 1e-5。我们最终要保留 1 位小数，二分精度开到 $10^{-5}$ 可以保证四舍五入无误差；
• 精度重要性：如果精度设置过低，会出现输出结果偏差 0.1 的丢分情况。

三、完整 AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double w0, w, m;

bool check(double x) {
    double s = w0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        s = s * (1 + x) - w;
    }
    return s >= 0;
}

double find() {
    double l = 0, r = 10;
    while (r - l > 1e-5) {
        double mid = (r + l) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

int main() {
    cin >> w0 >> w >> m;
    printf("%.1lf", find() * 100);
    return 0;
}

四、代码逐段详细拆解

1. 全局变量定义

double w0, w, m;

• w0：贷款原始本金；
• w：每月固定还款金额；
• m：分期总月数；
• 全部使用 double 存储，避免整数运算精度丢失。

2. 二分校验函数 check(double x)

bool check(double x) {
    double s = w0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        s = s * (1 + x) - w;
    }
    return s >= 0;
}

• 初始化剩余本金 s 等于贷款总额；
• 循环模拟每一个月：先计算当月复利，再扣除当月还款；
• 循环结束后判断剩余本金是否大于等于 0：
  • true：当前利率 x 偏高，还款压力大，需要缩小利率区间；
  • false：当前利率偏低，还款后还有结余，可以适当抬高利率。

3. 浮点二分核心函数 find()

double find() {
    double l = 0, r = 10;
    while (r - l > 1e-5) {
        double mid = (r + l) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

• 初始化二分区间 $[0,10]$；
• 循环直到区间长度小于 $10^{-5}$，保证精度充足；
• mid = (l + r) / 2：实数二分取区间中点；
• 分支逻辑：
  • check(mid) == true：中点利率可行，最优解在左半区间，令 r = mid；
  • check(mid) == false：中点利率不可行，最优解在右半区间，令 l = mid；
• 循环结束返回 l，即为精确到万分级的月利率小数。

4. main 主函数输入输出

int main() {
    cin >> w0 >> w >> m;
    printf("%.1lf", find() * 100);
    return 0;
}

• 读取本金、月供、总月数；
• 二分得到小数利率，乘以 100 转为百分比；
• printf("%.1lf") 自动完成四舍五入，保留 1 位小数输出，完美匹配题目输出要求。

五、浮点二分关键知识点 & 踩坑提醒

1. 整数二分 vs 浮点二分区别

• 整数二分：循环条件 l <= r、mid = (l + r) >> 1，区间左右边界离散；
• 浮点二分：循环条件为区间精度限制 r - l > eps，mid = (l + r) / 2，区间是连续实数，不能用位运算。

2. 精度 eps 怎么选？

本题要求输出保留 1 位小数，理论 eps 设 1e-3 即可，但稳妥起见统一用 1e-5/1e-6：

• eps 过小：循环次数变多，耗时轻微上涨；
• eps 过大：输出四舍五入出错，比如正确答案 2.9，输出变成 2.8 或 3.0。

3. 区间边界设置技巧

题目说明答案不超过 $300%$，也就是 $x \le 3.0$，代码中 r = 10 是冗余安全边界，不影响程序效率。如果题目无上限，可通过循环倍增右边界找到合法区间。

4. 输出转换细节

代码最后 find() * 100 是核心：二分得到的 x 是小数利率（0.029 代表 2.9%），必须乘 100 转为百分比再打印。

六、同类拓展题型（浮点二分题库）

1. P1902 刺杀大使：网格连通性 + 整数二分；
2. P2440 木材加工：整数二分最大化最小值；
3. P1182 数列分段 Section II：整数二分经典模板；
4. P1570 KC 喝咖啡：实数二分 + 贪心校验。

七、全文总结

1. 题型识别：求满足条件的最小 / 最大实数，优先浮点二分答案；
2. 解题模板流程：确定二分区间 → 编写校验函数模拟过程 → 循环缩小区间至精度达标；
3. 本题核心：利用金融复利公式模拟月度还款，单调性保证二分正确性；
4. 应试要点：浮点二分注意精度 eps 设置、百分比输出记得乘 100、使用 printf 格式化小数避免输出误差。