【洛谷 P1902 】刺杀大使｜二分答案 + DFS

一、题目分析

题意简述

迷宫是 n×m 的网格：

• 第 1 行所有格子是入口，伤害值全为 0
• 第 n 行每一格都有机关，必须全部走到
• 除首尾两行外，房间有激光伤害 p[i][j]
• 士兵路径上所有格子的伤害最大值为该士兵代价
• 可以派出多名士兵，全队代价 = 所有士兵代价里的最大值
• 求全队最小的最大伤害代价

核心考点拆解

1. 最小值最大化模型：典型二分答案场景 —— 我们二分一个伤害上限 mid，验证是否存在方案：所有第 n 行机关都能通过伤害≤mid的路径从第 1 行入口抵达。

2. 连通性校验：二分的判定函数用 DFS/BFS，只走伤害≤当前二分值的格子，看能否覆盖全部终点（第 n 行）。

3. 网格搜索：四向移动，边界判断、访问标记防回头重复搜索。

解题思路总览（二分答案模板逻辑）

1. 二分区间：伤害值域 [0, 1000]，左边界 l=-1，右边界 r=1001
2. 二分判定：给定限制值 mid，只允许走 p[i][j] ≤ mid 的格子，从第 1 行全部起点出发，看第 n 行所有单元格是否连通
3. 二分收缩：
   • 若能连通全部终点：说明 mid 可行，尝试更小值，r=mid
   • 若不能连通：限制太小，需要放大伤害，l=mid
4. 最终结果：r 就是满足条件的最小最大伤害

二、算法原理详解

1. 二分答案为什么适用？

题目求「所有士兵路径伤害最大值的最小取值」，满足二分单调性：

• 如果伤害上限 X 可行（能走完所有机关），那么所有大于 X 的数值一定可行
• 如果 X 不可行，所有小于 X 的数值一定不可行

单调区间可以通过二分快速逼近最优解，把 "求最优值" 转化为 "给定值做连通性判断"，时间复杂度大幅优化。

2. DFS 判定函数作用

给定伤害阈值 z，仅遍历网格中 p[x][y] ≤ z 的格子，标记可达区域。

判定逻辑：第 n 行所有单元格都被标记可达 → 阈值 z 合法。

3. 时间复杂度估算

• 二分次数：值域 0~1000，最多二分 10 次
• 单次 DFS：网格最多 1005×1005，单次遍历 O(nm)
• 总复杂度：O(10 × n × m)，对于 n,m≤1000 完全通过，不会超时

三、完整可 AC 修正代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =  1005;
int dx[] = {0,0,1,-1};
int dy[] = {1,-1,0,0};
int n,m,p[N][N];
bool vis[N][N];
bool dfs(int x,int y, int z){
	if(x==n) return true;
	vis[x][y] = true;
	for(int i=0; i<4; i++){
		int newx = x+dx[i];
		int newy = y+dy[i];
		if(newx>=1 && newx<=n&&newy>=1&&newy<=m&&!vis[newx][newy]&&p[newx][newy]<=z)
			if(dfs(newx,newy,z)) return true;
	}
	return false;
}
int find(){
	int l = -1, r = 1001;
	while(l+1<r){
		int mid = l+r>>1;
		memset(vis,0,sizeof vis);
		if(dfs(1,1,mid)) r = mid;
		else l = mid;
	}
	return r;
}
int main() {
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1; j<=m;j++){
			cin>>p[i][j];
		}
	}
	cout<<find();
	
	return 0;
}

四、样例推演（输入 #1）

输入样例：

4 2
0 0
3 5
2 4
0 0

网格伤害矩阵：

行1：0  0
行2：3  5
行3：2  4
行4：0  0

二分过程：

1. mid=5：所有格子都能走，第 4 行全部连通，可行，记录 ans=5，缩小右边界
2. mid=2：只能走伤害≤2 的格子，第二行 5、第三行 4 无法通行，第四行右列不可达，不可行
3. mid=3：伤害上限 3，路径：
   • (1,1)→(2,1)(伤害 3)→(3,1)(伤害 2)→(4,1)
   • (1,2) 向下无法走 5，横向连通 (1,1) 绕左路到达第四行两格，全部机关覆盖

最终最小合法值为 3，和样例输出匹配。

五、总结

洛谷 P1902 "刺杀大使" 是一道经典的二分答案 + 连通性检验题目，主要考察：

1. 二分答案思想：将最优化问题转化为判定问题
2. 网格连通性：DFS/BFS 遍历可达区域
3. 边界条件处理：注意起点是整行，终点也是整行
4. 时间复杂度控制：二分 + 搜索的组合在合理范围内

掌握这道题后，可以举一反三解决类似的 "最小值最大化" 或 "最大值最小化" 问题，这类问题在算法竞赛中非常常见。

关键点：一定要从第 1 行的所有入口开始搜索，不能只从 (1,1) 开始，这是本题最容易出错的地方。