【题解】CF830E Perpetual Motion Machine

目录

• 题解
  • 链
  • 菊花图
  • 特殊情况
• 注意事项

有翻译的传送门，可以点到原题

orz _ztyqwq, SIGSEGV.

给定 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，要求你给每个节点赋正权值 \(a_i\)，使得至少有一个节点有非零权值，且：

\[\sum_{i=1}^n a_i^2 \le \sum_{i=1}^m a_{u_i}a_{v_i} \]

其中 \((u_i,v_i)\) 是图中的一条边。

题解

虽然题目中没有给定图的连通性，但如果有至少一个连通块构造满足条件，则其余节点赋 \(0\) 就一定合法。所以下面的讨论假定图连通。

首先，注意到给所有节点赋 \(1\) 时，条件等价于 \(n\le m\)，即对于所有非树图，都存在一种构造。

考虑树的情况时，发现难以直接构造，考虑几种极端情况，比如：链和菊花图。

链

经过尝试，发现链的情况总是无解。证明：

设存在构造，链上每个点的权值为 \(a_i\)，则原式变形为：

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n a_i^2&\le \sum_{i=2}^n a_{i-1}a_i\\ \sum_{i=1}^n a_i^2-\sum_{i=2}^n a_{i-1}a_i&\le 0\\ 2\sum_{i=1}^n a_i^2-2\sum_{i=2}^n a_{i-1}a_i&\le 0\\ \left(a_1^2+\sum_{i=2}^n a_i^2\right)+\left(a_n^2+\sum_{i=2}^n a_{i-1}^2\right)-\sum_{i=2}^n 2a_{i-1}a_i&\le 0\\ a_1^2+a_n^2+\sum_{i=2}^n (a_i^2-2a_ia_{i-1}+a_{i-1}^2)&\le 0\\ a_1^2+a_n^2+\sum_{i=2}^n (a_i-a_{i-1})^2&\le 0\\ \end{aligned} \]

注意到左边一定为非负数，则不等式成立，即等号取到当且仅当 \(a_1=a_2=\cdots=a_n=0\)，与题目条件矛盾，所以一定无解。

菊花图

考虑有解的边界。

显然，将中间的点权赋较大值，周围的点权取小更优。更极端地，所有叶子节点的点权都应为 \(1\)。设 \(f_n(x)\) 为 \(n\) 个点，中间点点权取 \(x\) 时，条件中 \(\text{右边}-\text{左边}\) 的值。则易得表达式为 \(f_n(x)=\left(x^2+n-1\right)-\left((n-1)x\right)=x^2-(n-1)x+n-1\)。

以 \(x\) 为主元，则 \(f_n(x)\) 为关于 \(x\) 的二次方程。即，\(\exist x\, f(x)\ge 0 \Leftrightarrow (n-1)^2-4(n-1)\ge 0\)，舍去不合法根解得 \(n\ge 5\)，即至少有 \(4\) 个叶子节点时一定有解。

构造也十分简单：中间节点赋 \(2\)，其余点赋 \(1\)。易证这样一定是合法的。

---

如何将菊花图的构造拓展到一般的树呢？考虑如下构造：

• 如果该节点的度 \(> 1\)，即非叶子节点，赋 \(2\)；
• 否则，即为叶子节点，赋 \(1\)。

正确性：设有 \(k\) 个叶子节点，可得：

\[\begin{aligned} \text{左边}&=4(n-k)+k\\ &=4n-3k\\ \end{aligned}\\ \begin{aligned} \text{右边}&=4(n-k-1)+2k\\ &=4n-4k-4+2k\\ &=4n-2k-4 \end{aligned}\\ \begin{aligned} \text{左边}-\text{右边}&=(4n-3k)-(4n-2k-4)\\ &=4-k\le 0 \end{aligned} \]

即 \(k\ge 4\)，这与菊花图的限制是相同的。

特殊情况

上面的分类讨论包括了：

• 叶子数为 \(2\)，这样的树一定是链；
• 叶子数 \(\ge 4\)。

接下来我们将讨论最困难的一种情况：有 \(3\) 个叶子的树。

手玩片刻后，可能以为 \(3\) 个叶子是无解的。但考虑如下构造：

节点 \(1\) 的点权为 \(3\)，\(2,4,6\) 为 \(2\)，其余为 \(1\)。注意到此时满足条件。

依旧考虑有解的边界。首先注意到对于所有三个叶子节点的树，一定存在恰好一个度为 \(3\) 的节点（下文称为「根」），而删去这个节点后，这棵树就分成了三条链。

注意到三条链是互相独立的，所以考虑每条链对答案的贡献。注意这里，包括下文，对答案的定义为题目中式子的 \(\text{右边}-\text{左边}\)。显然，我们希望答案越大越好。

---

令 \(f(x,l)\) 为根的权值为 \(x\) 时，节点数为 \(l\) 的链的最大贡献。套用链那段公式，即：

\[f(x,l)=-{1\over 2}\min\left(x^2+a_n^2+\sum_{i=2}^l (a_i-a_{i-1})^2\right) \]

构造 \(a\) 的差分数组 \(b\)，即 \(b_i=a_i-a_{i+1}\)（为了方便，令 \(a_{l+1} = 1\)）。则

\[f(x,l)=-{x^2\over 2}-{1\over 2}\min\left(\sum_{i=1}^l b_i^2\right) \]

由于 \(\sum b_i=x\)，则均分一定最小，即：

\[\min \sum b_i^2=l\times \left(\dfrac{x}{l}\right)^2=\dfrac{x^2}{l} \]

所以 \(f(x,l)=-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{2l}\)，则答案为：

\[\begin{aligned} f(x,l_1)+f(x,l_2)+f(x,l_3)+2x^2&=2x^2-\sum_{k=l_1,l_2,l_3}\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{2k}\right)\\ &=\dfrac{x^2}{2}-\sum_{k=l_1,l_2,l_3}\dfrac{x^2}{2k}\ge 0 \end{aligned} \]

等价于：

\[\begin{aligned} 1-\sum_{k=l_1,l_2,l_3}\dfrac{1}{k}&\ge 0\\ {1\over l_1}+{1\over l_2}+{1\over l_3}&\le 1 \end{aligned} \]

这就是最终的条件。考虑给出构造。注意到我们只需要给出 \({1\over l_1}+{1\over l_2}+{1\over l_3}= 1\) 的构造即可（可证如果有构造，则答案一定恰好为 \(0\)），其余的情况中，一定存在删去某些链的末端得到上述情况的方法。此时只需要将该删去的节点赋成上一个（距离根更近的）的值，易证这样对答案无影响。

通过枚举，发现只有 \((3,3,3)\)，\((2,4,4)\)，\((2,3,6)\) 满足条件。同时，要使答案恰好为 \(0\)，则上述所有不等式均须取到等号，即要满足 \(b_i\) 全部相等。考虑如下构造：

• 根节点权值为 \(l_1l_2l_3\)；
• 以第一条链为例，如果距离根节点距离为 \(x\)，则权值为 \((l_1-x)l_2l_3\)。

容易证明这样的构造是满足条件的。

---

最后，总结一下整体的步骤：

1. 提取连通块；
2. 检查是否为树；
3. 检查叶子节点个数；
4. 检查链长。

精细实现可以达到 \(\mathcal{O}(n\alpha(n))\) 的复杂度。（不太理解 \(\mathcal{O}(n)\) 是什么科技）

注意事项

注意查链时的判重。

My Code