【题解】[AGC036F] Square Constraints

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• 解析
• 注意事项

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给定 \(n\)，求长为 \(2n\) 的 \(0\) 到 \(2n-1\) 的排列 \(p\) 的个数，满足 \(n^2\le i^2+p_i^2\le 4n^2\)（\(0\le i\le 2n-1\)），\(1\le n\le 250\)。

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这题调了我三天，基本被抬走了…… AC 的时候血压骤降。

解析

把题目中的条件转换成几何形式，即 \((i,p_i)\) 在内半径为 \(n\)，外半径 \(2n\) 的圆环内。如图给出了一个 \(n=2\)，\(p=\left<2,3,0,1\right>\) 的例子：

考虑没有内圆时的做法，即存在一个序列 \(r_i\)，要求 \(p\) 满足 \(r_i\ge p_i\)。这是一个平凡的问题，即将 \(r\) 升序排序，第 \(i\) 位的选择数就是 \(r_i+1-i\)（每一位初始有 \(r_i+1\) 种选择，而有 \(i\) 种被占掉了，因为排序后之前的选择一定都被这一位包含），即答案就是 \(\prod\limits_{i=0}^{2n-1}(r_i+1-i)\)。

有内圆怎么做呢？设内圆产生的下界为 \(l_i\)，先考虑将 \([l_i\le x\le r_i]\) 类似的条件转换成 \([x\le r_i]-[x\le l_i-1]\)，接下来是一步经典的容斥转换：设 \(f(k)\) 为选 \(k\) 个数选择 \(l_i\) 为上界的方案数，则最终答案为：

\[\sum\limits_{k=0}^n (-1)^kf(k) \]

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考虑 dp 求解 \(f(k)\)，即令 \(f_{i,j}\) 为对于前 \(i\) 个数，选取 \(j\) 个以 \(l_x\) 为上界的方案数。注意到方案数的关键在于排序，即计算多少个数影响了该决策，即小于自身。

当 \(i<n\) 时，以 \(l_i\) 为第一关键字，\(r_i\) 为第二关键字排序；当 \(i\ge n\) 时以 \(r_i\) 为关键字排序后，考虑以下转移（下文 \(i\) 代表原先下标，\(i^\prime\) 代表排序后的下标）：

当 \(i\ge n\) 时，即不存在 \(l_i\)，此时造成影响的有：

• 小于自身的 \(r_x\)，即 \(x>i\) 且 \(x\ge n\)，设有 \(cnt_1\) 个；
• 可能选择的 \(l_x\)，即 \(j\)；

这种转移的贡献是 \((r_i-cnt_1-j+1)f_{i^\prime-1}{j}\)。

考虑 \(i<n\)，此时有两种决策：

1. 选择 \(l_i\) 为上界，则造成影响的有：
   • 满足 \(r_x<l_i\) 的 \(r_x\)，和前面相同，也是 \(cnt_1\) 种贡献；
   • 满足 \(x>i\) 的 \(l_x\)，注意此时的贡献数是 \(j-1\)，因为已经钦定了一个位置选择 \(l_x\) 为上界。

此时贡献是 \((l_i-cnt_1-j+2)f_{i^\prime-1,j-1}\)（注意代码里还是 +1，因为下标不同）。

2. 选择 \(r_i\) 为上界，类似的有：
   • 满足 \(x>i\) 的 \(r_x\)，注意这不仅包括了 \(x\ge n\) 的 \(n\) 个贡献（\(r_i\) 单调），还有满足 \(i<x<n\) 且取 \(r_x\) 的情况。则后者的贡献是总数 \(n-1-i\) 减去已经除去的 \(j\) 种，两类相加为 \(2n-1-i-j\)。（代码中用 lc 代替了后者贡献中的总数）
   • 满足 \(l_x<r_i\) 的 \(x\)，注意到这里有一个关键性质：所有的 \(l_x\) 都小于 \(r_i\)，因为 \(r_i\ge r_n=\left\lfloor\sqrt{3n^2}\right\rfloor\ge \sqrt{n^2}\ge l_i\)。所以这一部分的贡献与钦定的 \(l_i\) 总数有关，设其为 \(k\)。

此时贡献是 \((r_i-2n+i+j-k+2)f_{i^\prime-1,j}\)，若用 \(lc\) 表示则为 \((r_i-lc-k+j+1)f_{i^\prime-1,j}\)。

则 \(f(k)=f_{2n, k}\)，最终整体统计答案即可。每次指定 \(k\) 进行 dp 复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)，总共 \(\mathcal{O}(n^3)\)，可以通过。

注意事项

1. 将 \([l\le x\le r]\) 转换成 \([x\le r] - [x\le l-1]\) 别忘了 -1；
2. 循环边界，循环边界，循环边界！怎么强调都不为过！\(f_{x,k}\) 算了吗？\(f(0)\) 算了吗？
3. dp 数组清空了吗？dp 初始值设了吗？
4. dp 顺序的排序，注意关键字的顺序和大小关系。
5. 有没有输出负数？

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