【题解】食物链

目录

• 题目
  • 题目描述
  • 输入格式
  • 输出格式
  • 数据规模和约定
• 分析
• Code

题目

题目来源：CCF NOI2001；（模拟赛 T3）

评测地址：Luogu#2024。

题目描述

动物王国中有三类动物 A、B、C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B，B 吃 C，C 吃 A。

现有 \(N\) 个动物，以 \(1\) 到 \(N\) 编号。每个动物都是 A、B、C 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 \(N\) 个动物所构成的食物链关系进行描述：

• 第一种说法是 1 X Y，表示 \(X\) 和 \(Y\) 是同类。
• 第二种说法是 2 X Y，表示 \(X\) 吃 \(Y\)。

此人对 \(N\) 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 \(K\) 句话，这 \(K\) 句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

• 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
• 当前的话中 \(X\) 或 \(Y\) 比 \(N\) 大，就是假话；
• 当前的话表示 \(X\) 吃 \(X\)，就是假话。

你的任务是根据给定的 \(N\) 和 \(K\) 句话，输出假话的总数。

输入格式

第一行两个整数，\(N\)、\(K\)，表示有 \(N\) 个动物，\(K\) 句话。

第二行开始每行一句话（按照题目要求，见样例）。

输出格式

一行，一个整数，表示假话的总数。

数据规模和约定

评测时间限制 \(1000\ \textrm{ms}\)，空间限制 \(128\ \textrm{MiB}\)。

\(1\le N\le 5\times 10^4\)，\(1\le K\le 10^5\)。

分析

题意是指有一组元素，每个元素有 \(3\) 种状态。现在给出一系列元素的状态依赖关系，形如「如果 \(A\) 是 xxx，那么 \(B\) 就是 yyy，反之亦然。」

（考虑一下为什么这与原题是等价的，这很重要）

也就是说，这道题要求我们维护一个状态，其中有若干状态是 必须并存 的。这就是一个集合合并问题，可以使用并查集。

我们将一个动物拆分成 \(3\) 种状态，每一种就是一个节点。我们用并查集维护其中的并存关系。

为表示方便，下面用 \(A_t\) 表示一个节点：

• A 表示节点编号，也就是动物编号 \(i\)；
• t 表示对应的类型，是 A、B、C 中的一个。

比如说 \(i\) 和 \(j\) 是同类，那么就可以合并 \(i_A\) 和 \(j_A\)，\(i_B\) 和 \(j_B\)，以及 \(i_C\) 和 \(j_C\)。

那么如果 \(i\) 吃 \(j\)，那么就可以合并 \(i_A\) 和 \(j_B\)，\(i_B\) 和 \(j_C\)，以及 \(i_C\) 和 \(j_A\)。

判断是否真假，只需要看看除了给出条件以外的 \(i\) 和 \(j\) 节点是否存在同一集合的情况。有就是假话。

比如说已经知道了 \(i\) 吃 \(j\)，\(j\) 和 \(k\) 又是同类，可以得到 \(i_A\) 和 \(k_B\) 在一个集合内。此时如果说给出 \(k\) 吃 \(i\)（即 \(k_B\) 与 \(i_C\) 在同一集合内），就会矛盾。

这样，我们就可以利用并查集，在 \(\Theta(n\alpha(n))\) 的时间内愉快 AC。

Code

由于要判断，这次的代码有亿点长……

#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;

const int max_n = 50000;
int ufs[max_n*3]; // 并查集别忘了开 3 倍大小

inline int pack(int id, int lat) { return id + lat * max_n; } // 编号

int find(int x) // 查找，最好加上路径压缩
{
	if (x != ufs[x])
		ufs[x] = find(ufs[x]);
	
	return ufs[x];
}

void unite(int a, int b) // 合并
{
	ufs[find(a)] = find(b);
}

bool isn_1(int a, int b) // 是否（不）是同类
{
	if (find(pack(a, 0)) == find(pack(b, 1)))
		return true;
	if (find(pack(a, 0)) == find(pack(b, 2)))
		return true;
	if (find(pack(a, 1)) == find(pack(b, 0)))
		return true;
	if (find(pack(a, 1)) == find(pack(b, 2)))
		return true;
	if (find(pack(a, 2)) == find(pack(b, 0)))
		return true;
	if (find(pack(a, 2)) == find(pack(b, 1)))
		return true;
	
	return false;
}

bool isn_2(int a, int b) // 是否（不）是 a 吃 b
{
	if (find(pack(a, 0)) == find(pack(b, 0)))
		return true;
	if (find(pack(a, 0)) == find(pack(b, 2)))
		return true;
	if (find(pack(a, 1)) == find(pack(b, 0)))
		return true;
	if (find(pack(a, 1)) == find(pack(b, 1)))
		return true;
	if (find(pack(a, 2)) == find(pack(b, 1)))
		return true;
	if (find(pack(a, 2)) == find(pack(b, 2)))
		return true;
	
	return false;
}

inline int read()
{
	int ch = getchar(), t = 1, n = 0;
	while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
	if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
	while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
	return n * t;
}

int main()
{
	int n = read(), k = read(), opt, ta, tb, ans = 0;

	for (int i = 0; i < n; i++) // 并查集初始化
	{
		ufs[pack(i, 0)] = pack(i, 0);
		ufs[pack(i, 1)] = pack(i, 1);
		ufs[pack(i, 2)] = pack(i, 2);
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		opt = read(), ta = read() - 1, tb = read() - 1;

		if (ta < 0 || ta >= n || tb < 0 || tb >= n) // 越界
		{
			ans++;
			continue;
		}

		if (opt & 1) // 同类标记
		{
			if (isn_1(ta, tb)) // 谎言
			{
				ans++;
				continue;
			}

			unite(pack(ta, 0), pack(tb, 0)); // 更新
			unite(pack(ta, 1), pack(tb, 1));
			unite(pack(ta, 2), pack(tb, 2));
		}
		else // 梅开二度
		{
			if (isn_2(ta, tb))
			{
				ans++;
				continue;
			}

			unite(pack(ta, 0), pack(tb, 1));
			unite(pack(ta, 1), pack(tb, 2));
			unite(pack(ta, 2), pack(tb, 0));
		}
	}

	printf("%d\n", ans); // 精准结束

	return 0;
}