【题解】[CQOI2009] 中位数

目录

• 题目信息
  • 题目描述
  • 输入格式
  • 输出格式
  • 数据规模与约定
• 分析
  • \(30\ \texttt{pts}\)
  • \(60\ \texttt{pts}\)
  • \(100\ \texttt{pts}\)
• 注意事项
• Code

题目信息

题目来源：CCF 重庆省选 2009；

在线评测地址：Luogu#1627；

运行限制：时间不超过 \(1.00\ \textrm{s}\)，空间不超过 \(128\ \textrm{MiB}\)。

题目描述

给出 \(1,2,\cdots,n\) 的一个排列，统计该排列有多少个长度为奇数的连续子序列的中位数是 \(b\)。中位数是指把所有元素从小到大排列后，位于中间的数。

输入格式

第一行为两个正整数 \(n\) 和 \(b\)，第二行为 \(1,2,\cdots,n\) 的排列。

输出格式

输出一个整数，即中位数为 \(b\) 的连续子序列个数。

数据规模与约定

• 对于 \(30\%\) 的数据中，满足 \(n\le 100\)；
• 对于 \(60\%\) 的数据中，满足 \(n\le 1000\)；
• 对于 \(100\%\) 的数据中，满足 \(n\le 10^5\)，\(1\le b\le n\)。

分析

插一句题外话，这道题与 CSP-S2019 D1T2 有异曲同工之妙。

\(30\ \texttt{pts}\)

枚举所有连续子序列，暴力排序找中位数。

复杂度：\(\mathcal{O}(n^3\log n)\)

\(60\ \texttt{pts}\)

我们观察一下这种子序列的条件：

• 连续且包含 \(b\) 这个元素；
• \(b\) 是这个子序列的中位数。

根据排序的定义，可以将后面这个条件转换成「若连续子序列的长度为 \(t\)，则 \(b\) 是第 \(\left\lceil\dfrac{t}{2}\right\rceil\) 大，也就是说比 \(b\) 大的数与比 \(b\) 小的数数量相同」。

这样，我们只需要遍历左端点在 \(b\) 及其左边，右端点在 \(b\) 及其右边的连续子序列，用前缀和处理出比 \(b\) 大和比 \(b\) 小的数的数量。

复杂度：\(\mathcal{O}(n^2)\)。

\(100\ \texttt{pts}\)

想到了 \(60\) 分做法，\(100\) 分也简单了。

预处理出比 \(b\) 大的数的数量减去比 \(b\) 小的数的数量的值。如果有两个前缀和和相等，就有一个这样的数列。

易证这个值一定在 \([-n,n]\) 的范围内，用一个数组 \(cnt_i\) 记录下值为 \(i\) 的前缀和的数量。

处理 \(b\) 左边时，将左边的前缀和统计进去。处理右边时，计算前缀和 \(S_i\) 并让 \(ans\leftarrow ans+cnt_{S_i}\)。

这样就能在 \(\mathcal{O}(n)\) 的时间内完成了。

注意事项

如果你统计左边的前缀和时从前往后统计的，计算右边的答案时 \(S_i\) 就得是正的，否则 \(S_i\) 就得是负的，同时右边的前缀和就得从 \(b\) 开始统计。

Code

#include <cstdio>
using namespace std;

constexpr int max_n = 100000;
int a[max_n], cnt[max_n*2+1]; // 原数组+数量统计

int main()
{
	int n, k, ptr, pos = -1, tmp, ans = 0;

	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 0; i < n; i++) // 读入
	{
		scanf("%d", a + i);

		if (a[i] == k) // 记录位置
			pos = i;
	}
	
	cnt[max_n]++, tmp = 0;
	for (int i = pos - 1; i >= 0; i--) // 统计左边的前缀和
	{
		tmp += (a[i] > k)? 1:-1; // 计算
		cnt[tmp+max_n]++; // 统计上
	}

	tmp = 0, ans += cnt[max_n];
	for (int i = pos + 1; i < n; i++) // 计算答案
	{
		tmp += (a[i] > k)? -1:1;
		ans += cnt[max_n-tmp]; // 我的写法是减去
	}

	printf("%d\n", ans);

	return 0; // 然后就 AC 了、
}