【Hankson 的趣味题】主要的数学公式推理

Hankson 的趣味题

最大公约数

\(gcd(\) \(x\) \(,a_0)=a_1\)

等式的性质

\(gcd(\) \(x \over a_1\) \(,\) \(a_0 \over a_1\) \()=1\)

最小公倍数

\(lcm(x,b_0)=b_1\)

定义四个数 \(a,b,m,n\)

其中\(a,b\)是已经知道的两个数，\(m\)是最大公约数，\(n\)是最小公倍数

\(a=x*m;\)

\(b=y*m;\)

\(a*b=x*y*m*m\)

短除得最小公倍数 \(n=x*y*m\)

\(m*n=a*b=(x*y*m)*m\)

\(m=\) \(ab \over n\)

因为\(m\)是最小公约数

所以\(gcd(a,b)=m\)

那么\(gcd(a,b)=\) \(ab \over n\) \(=\) \(ab \over lcm(a,b)\)

然后将\(a,b\)替换成\(x,b_0\)

\(gcd(x,b_0)=\) \(xb_0 \over lcm(x,b_0)\)

因为\(lcm(x,b_0)=b_1\)

所以\(gcd(x,b_0)=\) \(xb_0 \over b_1\)

\(gcd(\) \(x \over \frac {xb_0}{b_1}\) \(,\) \(b_0 \over \frac {xb_0}{b_1}\) $)=gcd( $ \(xb_1 \over xb_0\) \(,\) \(b_0b_1 \over xb_0\) $ )=gcd($ \(b_1 \over b_0\) \(,\) \(b_1 \over x\) \()=1\)

（这个式子就是上面那个式子左右两边同时除以了\(xb_0 \over b_1\)，然后进行了个约分）

上面我们推出了\(gcd(\) \(x \over a_1\) \(,\) \(a_0 \over a_1\) \()=1\)

然后写出\(gcd\)函数，把这两个式子代入代码即可

至于代码……枚举每一个数，一直枚举到那个数的平方根（防止重复枚举，降低复杂度）

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int a0,a1,b0,b1,ans=0;
		cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
		for(int x=1;x<=sqrt(b1);x++)
		{
			if(b1%x==0)
			{
				if(x%a1==0&&gcd(x/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1) ans++;
				int y=b1/x;
				if(x==y) continue;
				if(y%a1==0&&gcd(y/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/y)==1) ans++;
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}