初赛（3）

进制转换

首先考虑十进制：

\(1629=1*1000+6*100+2*10+9*1\)

进一步的

\(1629=1*10^3+6*10^2+2*10^1+9*10^0\)

于是我们给出进制概念

一个k进制的正数，是其每一位乘以k的对应次方之和。相当于给每一位赋予不同的权重

各种进制只是对数的不同描述，运算规律在各种进制下不变。

技巧

其他进制 转 十进制：乘幂，再加法

十进制 转 其他技巧：短除法

二进制运算

& 按位与 都为真，则为1，否则为0

| 按位或 都为假，则为0，否则为1

^ 按位异或 相同为0，不同为1

~ 按位取反

<< 左移，最右边补0

>> 右移，标准没有最左边补什么

实践上，unsigned直接补0，signed复制原先最高位

【小插曲】
逻辑运算，&&优先级高于||
a&&b||c&&d=(a&&b)||(c&&d)

补码

补码是这样一套体系：

\([0,2^{31}-1]\)这\(2^{31}\)个非负数，直接存储二进制

\([-2^{31},-1]\)这\(2^{31}\)个负数,存储其相应的正数的\(加法逆元^①\)

①加法逆元：\(x\)和\(inv(x)\)加在一起，变成\(0\)

\(-x\)的补码表示(~x)+1（这个符号是取反）

好处：

易运算。计算\(a-b\)值需要计算\(a+(-b)\)

只有一个\(0\)

非常容易获取一个数的相反数

主定理

假设有递推关系式\(T(n)=aT(\)\(n \over b\)\()\)\(+f(n)\)，其中\(n\)为问题规模，\(a\)为递推的子问题数量，\(n \over b\)为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样），\(f(n)\)为递推以外进行的计算工作

\(a≥1,b≥1\)为常数，\(f(n)\)为函数，\(T(n)\)为非负整数，刻有以下结果（分类讨论）：

（1）若\(f(n)=O(n^{{log_b}^{a-c}})\),\(c>0\)，那么\(T(n)=\Theta(n^{{log_b}^a})\)

（2）若\(f(n)=\Theta(n^{{log_b}^{a}})\)，那么\(T(n)=\Theta(n^{{log_b}^a}logn)\)

（3）若\(f(n)=\Omega(n^{{log_b}^{a-c}})\),\(c>0\)，且对于某个常数\(c<1\)和所有充分大的\(n\)有\(af(\)\(n \over b\)\()≤cf(n)\)，那么\(T(n)=\Theta(f(n))\)

常用结论

\(T(n)=2T(\)\(n \over 2\)\()+\Theta(n)=\Theta(n\ log\ n)\)

\(T(N)=T(\)\(n \over 2\)\()+\Theta(n)=\Theta(n)\)

\(T(n)=T(\)\(n \over 2\)\()+\Theta(1)=\Theta(log\ n)\)

\(T(n)=2T(\)\(n \over 2\)\()+\Theta(n\sqrt{n})=\Theta(n\sqrt{n})\)

计数原理

排列数\(A_n^m\)：在\(n\)个人里面选出\(m\)个人排队（有序）

组合数\(C_n^m\)：在\(n\)个人里面选出\(m\)个人（无序）

组合数通项：\(C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}\)

另外还有：\(C_n^x=C_n^{n-x}\)

\(Pascal公式\)：\(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m\)