扩展欧几里得算法

证明：

这种问题用数学语言来说就是求整数x、y使得ax+by=1。不难发现，若gcd(a,b)!=1时必定无解，相反的，若gcd(a,b)=1那就必定有一整数对(x,y)满足ax+by=gcd(a,b)，可以用扩展欧几里得算法对答案进行求解

 

假设我们已经求得b*xt+(a%b)yt=gcd(b,a%b)的整数解xt、yt

由欧几里得算法可知gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

 

∴b*xt+(a%b)*yt=gcd(a,b)①

 

又∵a%b=a-(a/b)*b②        注：因为在C++中，两个int类型的数未加特殊处理直接相除，得到的是两数之商向下取整的值

 

∴将②代入①化简得：a*yt+b*(xt-(a/b)*yt)=gcd(a,b)

 

代码如下：

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y){
int d=a;
if(b!=0){
    d=extgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}
else{x=1;y=0;}
return d;
}