滑动窗口

概述

定义

滑动窗口是一种常用的算法技术，通过维护移动窗口状态，避免重复计算，将算法复杂度从 \(O(n^2)\) 降低到 \(O(n)\)，属于空间换时间。

• 窗口：数组或字符串中的一个连续区间；
• 滑动：类似窗口在数组或字符串中移动，对于固定窗口，左右边界会同时向右移动，对于可变窗口，边界移动是独立的，具体有以下表现：
  • 右边界向右扩展，窗口变大，包含更多元素
  • 左边界向右收缩，窗口变小，排除不符合条件的元素

术语说明

• 子数组：数组中连续的元素序列，如 [1,2,3,4] 中的 [2,3]。
• 子串：字符串中连续的字符序列，如"abcd"中的"bc"。
• 子序列：保持相对顺序但不要求连续的序列，如 [1,2,3,4] 中的 [1,3,4]。

注意：滑动窗口算法仅适用于子数组和子串问题，不适用于子序列问题。

实现步骤

标准流程

flowchart TD A[初始化: left=0, right=0] --> B[右指针向右移动] B --> C[将新元素加入窗口] C --> D[更新窗口状态] D --> E{窗口满足条件?} E -->|是| F[记录结果] E -->|否| G[左指针向右移动] F --> H{right到达末尾?} G --> I[将元素移出窗口] I --> J[更新窗口状态] J --> K{窗口重新满足条件?} K -->|否| G K -->|是| H H -->|否| B H -->|是| L[返回结果] style A fill:#e1f5fe style F fill:#c8e6c9 style L fill:#ffcdd2 style E fill:#fff3e0 style K fill:#fff3e0 style H fill:#fff3e0

指针移动策略

1. 同步窗口（同步移动）

   • 适用场景：窗口大小固定的问题，如求长度为 k 的子数组的最大和等问题。
   • 移动方式：左右指针保持固定距离，同时向右移动。
   • 实现特点：通常使用单层循环，无需内层循环控制左指针。

2. 动态窗口（条件收缩）

   • 适用场景：窗口大小可变，需要满足特定约束条件，如包含特定元素个数的子数组问题。
   • 移动方式：右指针逐步扩展，左指针在违反条件时连续收缩。
   • 实现特点：外层循环控制右指针，内层循环控制左指针收缩。

3. 双指针收缩（优化收缩）

   • 适用场景：寻找满足条件的最优解，如包含特定元素个数的问题。
   • 移动方式：右指针扩展寻找可行解，左指针收缩优化解质量。
   • 实现特点：在满足条件时收缩左指针，寻找更优解。

复杂度分析

时间复杂度：\(O(n)\)

• 每个元素最多被左指针和右指针各访问一次
• 虽然存在嵌套循环，但内层循环的总执行次数不超过 n 次
• 关键洞察：左指针在整个算法过程中最多移动 n 次

空间复杂度：\(O(k)\)

• k 为维护窗口状态所需的额外空间
• 对于计数问题：\(O(字符集大小)\) 或 \(O(元素种类数)\)
• 对于求和问题：\(O(1)\)

适用场景

常见问题特征

• 连续的子数组/子串：明确提到“连续”、“子数组”、“子串”等关键字，但如果是允许跳跃的选择元素，则不适用。
• 存在某种单调性或可逆性：窗口扩大时某个指标（如元素个数、种类数、总和）发生可预测的变化，且这种变化在窗口收缩时可以有效逆转。
• 状态可维护性：能够通过简单的数据结构（如哈希表、计数器）以 \(O(1)\)时间复杂度维护窗口状态的增删操作。
• 存在优化空间：暴力解法存在大量重复计算，有优化潜力。

典型问题类型

第一阶段：固定窗口

• 使用技巧
  • 左右指针同步移动，保持固定距离
  • 使用"移除旧元素，添加新元素"的更新策略
  • 通常只需单层循环，实现相对简单
• 示例算法
  • 简单：LeetCode 643 - 子数组最大平均数 I
  • 中等：LeetCode 1456 - 定长子串中元音的最大数目
  • 中等：LeetCode 1052 - 爱生气的书店老板

第二阶段：动态窗口-计数约束

• 使用技巧
  • 右指针扩展窗口，左指针收缩窗口
  • 使用哈希表记录元素出现次数
  • 当窗口违反约束时，连续收缩直到满足条件
• 示例算法
  • 中等：LeetCode 904 - 水果成篮
  • 中等：LeetCode 3 - 无重复字符的最长子串
  • 中等：LeetCode 424 - 替换后的最长重复字符

第三阶段：动态窗口-和值约束

• 使用技巧
  • 利用正数数组的单调性（窗口扩大 → 和增大）
  • 当和超过目标时收缩左边界
  • 注意处理负数情况的特殊性
• 示例算法
  • 中等：LeetCode 209 - 长度最小的子数组
  • 中等：LeetCode 930 - 和相同的二元子数组
  • 困难：LeetCode 862 - 和至少为 K 的最短子数组

第四阶段：优化型窗口

• 使用技巧
  • 先扩展窗口找到可行解
  • 在满足条件的基础上收缩窗口寻找最优解
  • 使用多个哈希表或计数器维护复杂状态
• 示例算法
  • 中等：LeetCode 438 - 找到字符串中所有字母异位词
  • 中等：LeetCode 567 - 字符串的排列
  • 困难：LeetCode 76 - 最小覆盖子串

常见错误

1. 无限循环

   • 原因：忘记移动右指针
   • 解决：确保每次外层循环都有移动右指针，如 right++

2. 数组越界

   • 原因：指针移动时未检查边界
   • 解决：添加边界检查，如 left < len(arr) && right < len(arr)

3. 状态维护错误

   • 原因：添加/删除元素时哈希表更新不正确
   • 解决：仔细检查计数的增减和删除逻辑

4. 结果更新时机错误

   • 原因：在错误的位置更新最优解
   • 解决：明确何时窗口有效，何时需要记录结果