二分学习笔记

写在前面：本文中的“单调”不包括“单调不变”。（我不说你们应该也不会想到）

一、算法引入

如果我们要用一个数列(各个位置要有相应的数字形式的下标，且我们的这个下标可为小数）的某一个子序列来求一个值，那么当这个子序列的值是单调的，那么显然为了让我们整个过程的平均复杂度低一些，我们可以考虑使用这样或类似的算法：设\(l\),\(r\)分别代表现在搜索到的区间的左端点和右端点的位置，设一阈值\(x\),当位置\(x\)到区间[\(l\),\(x\)]包含我们要的答案时，\(l\)不变，\(r\)=\(x\)；否则\(r\)不变，\(l\)=\(x\)+\(y\)(y是一个非负数，具体的值自己定），\(r\)不变。（显然，阈值\(x\)取\(l\)+\(r\)>>1最好。这里提一下，>>是向0取整，而/是向下取整）

这样的算法大概就是二分算法了。

Tip:二分算法包括二分查找、二分答案、整体二分等算法。

这里我要先说一下，二分法刚学时你可能会感觉它很难，但只要你多模拟二分的过程，肯下功夫，你也会慢慢领悟到其中的奥妙了。（然后你也许就可以秒切各种二分可以做的很水的部分分，甚至直接用二分秒切很多题了(doge)）

二、算法应用

2.1 二分查找

指在一个数列中用二分法来查找某个值。
例题一 Luogu P2249查找
\(Code\)&\(Explanation\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000005],m,q,n;
int find(int x){
    int l=1,r=n,mid;
    while(l<r){
        mid=l+r>>1;//下面五行为基本判断+端点修改
        if(a[mid]>=x){
        	r=mid;
        }
        else{
        	l=mid+1;
        }
    }
    if(a[r]==x){
    	return r；
    }
    else{
    	return -1;
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>q;
        cout<<find(q)<<" ";
    }
    return 0;
}

2.2 二分答案

顾名思义，大概就是对某一个问题的答案进行二分，以求出一个最优解
例题一 Luogu P1873 EKO/砍树

\(Code\)&\(Explanation\)

//本题要我们求最大的一个可以得到至少M米木材的H
//我们可以发现，H值变大的过程中砍下木材的长度是单调不增的，那么我们就可以进行相关的二分答案了（以H为键值）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[2000000],m,n;
bool p(int h){
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]>h){
            ans+=(a[i]-h);
        }
    }
    return ans>=m;
}
int main(){
    long long l=0,r=1e9,g,mid;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }//下面的一段while循环为本题二分答案的主体部分
    while(l<=r){
        mid=l+r>>1;
        if(p(mid)){//判断
        	g=mid;l=mid+1;//g是用来记录答案的
        }
        else{
        	r=mid-1;
        }
    }
    printf("%lld",g);
    return 0;
}

例题二 Luogu P1542 包裹快递
大体的算法与上一题的差不多，但要注意精度（lmid是用来防止死循环的）
\(Code\)&\(Explanation\)

//二分
//要用long double
#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define ldb long double
using namespace std;
ldb l=0.0,r=10000000.0,ans=1.0*INT_MAX,ll=-1,rr=1;
int n;
struct node{
    int x,y,s;
}pos[200005];
int read(){
    int w=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
        c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9'){
        w=(w<<3)+(w<<1)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return w;
}
ldb mmax(ldb aa,ldb bb){
    if(aa>=bb)
        return aa;
    return bb;
}
ldb mmin(ldb aa,ldb bb){
    if(aa<=bb)
        return aa;
    return bb;
}
int main(){
    n=read();
    F(i,1,n){
        pos[i].x=read();pos[i].y=read();pos[i].s=read();
    }ldb mid=l+r/2.00;
    while(l<=r){//ll=l,rr=r;
        bool ok=true;
        ldb mid=(l+r)/2.0;
        ldb tim=0.00;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            ldb tt=1.00*pos[i].s/mid+1.00*tim;
            if(tt>1.00*pos[i].y){
                ok=false;
                break;
            }
            else{
                tim=mmax(tt,1.00*pos[i].x);
            }
        }
        if(ok&&mid<=lmid){
            r=1.0*mid-0.0001;
            ans=mmin(ans,mid);
        }
        else{
            l=1.0*mid+0.0001;
        }
    }
    printf("%.2Lf",ans);
    return 0;
}

二分查找和二分答案的注意事项：
1."\(l\)=\(x\),\(r\)=\(y\)"意味着保存区间[\(x\),\(y\)]。
2.修改\(l\)和\(r\)的值时保不保留某个或是某些位置取决于其是否对二分的结果有贡献。
3.一定要反复确认是不是所有情况都考虑到了，二分的代码又是否适用于所有情况。
to be continued;

2.3 整体二分

to be continued;

三、习题

3.1 Luogu P1102 A-B数对
to be continued;

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