真题总结

写在前面：总结什么？【1】什么思想，什么套路，遇到什么该往哪方面考虑【2】算法：用到了什么算法，超纲或者不超纲，现在可以学【3】技巧：不会怎么打暴力，蒙分

贪心

[N2013积木大赛]：给n个hi高度块，每次可以填平连续块高度为1，求最少的操作次数。

对于序列上的区间问题，可以固定一个端点思考从一边向另一边拓展的贡献
从左向右：
【1】hi+1>hi:cnt+=hi+1
【2】hi+1<=hi,不管

[N2018赛道修建]

最小值的最大先无脑想二分答案，当确定了mid，考虑最优决策使得路径可以出来最大的，依据mid。对于子树rt，儿子最多可以有1条路的贡献（树的性质），传上来最大的，前提是子树内部能自己配对的已经配完了，方法是如果dis>=mid自己就是了，否则选出min，二分出mid-min最小，如果有，ans++，否则min加入上传决策，取max。
一定不会有更优的答案，因为min和min(mid-min)的贡献是1，传上去最多也只有1的贡献，所以不会劣。

动态规划

[N2014花匠]求给定长度n的序列的最长波动子序列（任意数大于或者小于相邻数（左右大小关系相同））

竟然可以转化成递推式子？
\((a[i]>a[i-1])f[i][1]=f[i-1][1]+1 ,else f[i][1]=f[i-1][1]\)
为什么可以只记录比较相邻？贪心，只保留解最宽松的答案

[C2019Emiya今天的饭]

容斥原理，所有合法方案数=所有方案-不合法。
那么不合法可以通过DP简单的维度先算出然后再筛选，还可以在设置维度强制一些东西保证不合法的可选择性，
其实也是化简问题之后，因为同菜的个数<=choose/2,所以不合法的菜最多一格，枚举就行
\(dp[i][j][k]:表示前i天选ci的菜j个，选其他的菜k个方案\)，
is_illegal=dp[n][j] [k] (j>k)
压缩维度，本质是相似状态的合并
只关心ci的菜比别的多多少，所以多的一样就是等价的。
\(dp[i][j]:表示选ci的菜，ci比其他多选j种的方案\)
可以省略1维度

[N2015寻找子串]

\(f[i][j][k]:A匹配到i位置，B到j位置，ai=bj，有k个段的方案数\)
\(f[i][j][k]=f[1 to i-len][j-len][k-1],关于len可以倒叙比较(if(same[i-len+1][i]))\)
g前缀和优化转移，观察fijk=fij-1k-1+gj-1k-1,所以直接加不用循环就好了

[C2019划分]

暴力\(dp[i][j]:表示终点是i，上一个段终点是j方案,O(n^3)\)
可以通过打表找决策单调性，发现从dp[rt][1]-->dp[rt][rt-1]的最小值是单调递减的，也就是说对于合法的决策点，一定是尽量选择后面更优，转化成贪心结论，一定是后面划分的段小，(a+b)^2>a2+b^2，既保证前面会压缩得更小，后面也小，更优，所以对于每个终点只需要保留一个决策点就是last[i]:最靠近i的合法位置。
考虑合法决策点限制（快速找到合法）：
\(s[i]-s[ch]>=s[ch]-s[g[ch]]\),所以维护点\(2*s[x]-s[g[x]]\),单调队列，对于x,x+1满足要求则x不要[这里满足对于位置递增决策点单调不降]；插入x，如果前面的key>=x肯定前面不要。
倒序寻找答案避免数组开炸，回溯直接每一段+答案。

模拟

[C2019树上的数]并查集维护有序合并关系和模拟

非常经典的一个问题，就是给你一个序列，给出m个操作，可以把(a,b)交换位置，求一种交换顺序使得最后序列字典序最小。

方法

对于菊花图，发现联通关系构成一个环，如果把sop位置的数字id换到pos位置，那么sop-->pos,发现每个位置指向的位置，就是位置上的数字最后停留的位置，贪心从小数字到大数字枚举位置，并查集防止提前成环和矛盾匹配（不连通ed才能匹配）
对于链图，考虑局部贪心最优解需要对构造有什么限制，是否可以强制限制，检查矛盾进行决策，如果u-->v那么edge(u,x)-edge(x,y)--..edge(yk,v)的优先级是递减的，可以给每个边设置lim[x]:=0表示左edge>右edge,1表示<,-1表示没有，从小到大枚举+检查矛盾。
对于正解，发现如果要求num[u]-->num[v],必须要求u-->nxt的边是u点的边中第一次交换，nxt1-->nxt2的边交换连续，nxt-->v的交换是v边中最后一次，对于强制顺序，并查集在每个点上开一个，边也作为并查集元素，把每次操作分解成out和in的概念表示连续否
【1】u-->nxt:如果跳跃的边in已经把数字换走了就不行；如果环提前自闭也不行
其他类似
注意点的out的意义是第一次换走，in的意义是最后一次换走。

分治

结论

[N2018货币系统]

结论是选出的b集合一定是a集合中的数，所以只需要考虑a中哪些数一定可以被表示出来

[C2019括号树]

求树上合法括号对数，观察模拟（举数）发现一个位置如果是')'，那么算上它的贡献就是和他配对的'('的上一个位置的合法方案数+1，（前面合法+它还有它自己新的一个），lst[x]=lst[fa[match]]+1,线性统计贡献。

数据结构维护

[CJX2019散步]

发现问题本质是【1】求每一个时刻所有没有被删除的人距离它的目标最近的是谁【2】把它删除，所在目标--【3】如果目标=0，那么对于后面倒着走的人[i,nxt[i])，目标变成pre[x],距离+dis(pre[x],x)；正着走的人，(pre[i],i],目标变成nxt[i],距离+dis(x,nxt[x]).就是线段树区间维护最小值；修改操作只有区间+ 和 覆盖性标记。比较简单的思路是链表+set维护，如果目标是0，先不管，等人拿出来了，如果发现目标已经删除就跳nxt/pre,放进去，再选。费用滞后计算？，反正会大大简化操作

图论

[N2014华容道]经典BFS，有若干格子不能移动，若干格子可以自由移动，一个格子是棋子，要求从当前位置移动到目标位置（必须借助唯一的一个自由空位）。

上来BFS，让空位瞎走，走到棋子，然后棋子也瞎走是暴力做法，但是考虑最优决策的阶段性
【1】先让空位走到棋子旁边【2】然后棋子和空位通过相邻交换的方式走到目标
【1】可以BFSO(n*m)实现,【2】完全可以预处理出图，点\((x,y,k)\)表示棋子在(x,y)，空位在k方向的状态，用\(((x-1)*k+y)*4-(4-k)\)标号状态，最后答案跑最短路就可以。

角度转化

[C2019树的重心]

如果直接枚举边计算重心是慢的，发现对于一些边删除是等效的（不让重心改变），枚举每个点作为重心可以被计算多少次贡献，计另一颗子树是S，进一步化简，以重心为根，则对于x点有贡献的边只来自子树外
\((n-S-sx)<=(n-S)/2,mson[x]<=(n-S)/2\)-->\(n-2*s[x]<=S<=n-2*mson[x]\),对于复杂难受的重心判断就变成一个简单限制，数学语言简化问题提炼模型。
树上差分解决路径个数统计：
【1】rt节点路径上的向上子树大小：n-siz[rt]
【2】rt子树内部向下子树大小
【3】所有向下子树大小
2个差分维护,【2】用另一个减去贡献，辅助差分维护，没必要一个上死磕

杂题

[C2017逛公园]求有向图1-->n长度<=d+K(d是最短路)的路径数

固定K的值，建立反图优化排除冗余过程，\(dp[i][j]表示n-->i节点，还剩j的距离可以和最短路差的方案数\)，每到一个新点考虑用(u-->v)边替换u-->v最短路方案看是不是合法，累加方案数，

working[x][l]表示当前状态是否被在还未完成搜索下重复搜索，是的话就有0环，-1return。

[C2018旅行]基环树上贪心

暴力是枚举断边，这里考虑贪心沿着边搜索选择，因为到了一个环点，如果下一个环点比周围非环点小，那么一定先把周围放着（用栈存着），先递归环；如果下一个环点没有比周围小，先递归周围，然后再考虑环；如果环还不如上一个最新的等待回溯的非环点小，如果周围环都比它小，可以回溯，否则必须先递归周围的点，不然非法，那么周围的点就考虑放着等回溯时再递归会不会更优。所以栈维护决策集合，变量记录最小最新值。