算法第五章作业

一、最小重量机器设计问题分析
问题描述
假设我们需要设计一个由n个部件组成的机器，每个部件可以从m个不同的供应商处购买。每个供应商j提供的部件i具有重量w[i][j]和价格c[i][j]。要求在总价格不超过d的情况下，选择供应商使得机器的总重量最小。

输入：

n: 部件数量

m: 供应商数量

d: 总价格上限

w[i][j]: 供应商j提供部件i的重量

c[i][j]: 供应商j提供部件i的价格

输出：

最小总重量

每个部件选择的供应商编号

二、回溯法分析
2.1 解空间
解空间是问题所有可能解的集合。

对于最小重量机器设计问题：

每个部件有m种选择（m个供应商）

n个部件，共有 mⁿ 种可能的组合

每个解可以表示为一个n元组(x₁, x₂, ..., xₙ)，其中xᵢ ∈ {1, 2, ..., m}表示第i个部件选择的供应商编号

示例（n=3, m=2）：

解空间：{(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)}

共2³ = 8种可能

2.2 解空间树
解空间树是对解空间的树形表示，便于系统搜索。

树的结构：

根结点：第0层，表示尚未选择任何部件

第i层：表示已经为前i个部件选择了供应商

分支因子：每个结点有m个子结点，分别对应选择不同供应商

叶子结点：第n层，表示完整的解

结点总数：1 + m + m² + ... + mⁿ = (mⁿ⁺¹ - 1)/(m - 1)

                 根结点(0)
                /        \
       部件1选供应商1    部件1选供应商2
       /      \           /      \
部件2选1   部件2选2   部件2选1   部件2选2
 /  \      /  \      /  \      /  \
...（共8个叶子结点）

2.3 结点状态值
在遍历解空间树时，每个结点维护以下状态值：

当前重量 currentWeight：已选择部件的总重量

当前价格 currentCost：已选择部件的总价格

当前解向量 solution：长度为n的数组，记录已做出的选择

当前部件索引 k：正在为第k个部件选择供应商（0 ≤ k ≤ n）

状态更新：

当选择供应商j为部件k时：

currentWeight += w[k][j]

currentCost += c[k][j]

solution[k] = j

k = k + 1

剪枝条件（约束条件）：

价格约束剪枝：如果currentCost > d，则放弃该分支

最优性剪枝：如果currentWeight ≥ bestWeight（当前找到的最优重量），则放弃该分支

我对回溯算法的理解
回溯法的本质
回溯法是一种系统搜索算法，它通过深度优先搜索的方式遍历解空间，在搜索过程中使用剪枝函数避免无效搜索。回溯法的核心思想是"试探-回溯"：先选择一条路径深入探索，遇到死路或发现不是最优时，退回上一步重新选择。
回溯法的关键要素
解空间：明确问题的解空间结构

约束函数：判断部分解是否可行

限界函数：判断部分解是否可能成为最优解

搜索策略：深度优先、广度优先或优先队列
回溯法的优势与局限
优势：

完备性：能搜索整个解空间，找到所有解

灵活性：适用于各种约束条件

易于实现：递归结构清晰

局限：

时间复杂度高：最坏情况是指数级

依赖剪枝：没有好的剪枝策略效率极低

空间开销：递归深度可能较大

实际应用中的技巧
排序预处理：对选择进行排序，让更优的选择先被尝试

对称性剪枝：避免搜索对称的等价解

记忆化：存储中间结果避免重复计算

迭代加深：限制搜索深度逐步增加