算法第四章作业

给定n个闭区间[ai, bi]，需要选择尽可能少的点，使得每个区间内都至少包含一个点。
经过分析，我采用了基于区间右端点排序的贪心策略：

排序：将所有区间按照右端点bi进行升序排序

选择点：从第一个区间开始，选择当前区间的右端点作为第一个点

跳过覆盖：检查后续区间，如果该区间包含已选择的点（即ai ≤ 当前选择点），则跳过

新增点：遇到第一个不被当前点覆盖的区间时，选择该区间的右端点作为新点

重复：重复步骤3-4直到处理完所有区间

定理证明
贪心选择性质：存在一个最优解，其中第一个点选在右端点最小的区间的右端点。

证明：

设所有区间按右端点排序后为：I₁, I₂, ..., Iₙ

设I₁是右端点最小的区间，即b₁ = min{bᵢ}

假设存在一个最优解S，其中第一个点p不在I₁的右端点

考虑两种情况：

如果p在I₁内部：那么用b₁替换p，仍然覆盖所有原来被p覆盖的区间

如果p不在I₁内部：那么I₁不被任何点覆盖，矛盾

因此，总存在一个最优解以b₁作为第一个点

最优子结构性质证明
设选择了第一个点p = b₁后，剩余需要覆盖的区间集合为R

原问题的最优解 = {p} ∪ R的最优解

这是因为p的选择不影响剩余区间的选择，具有独立性

三、时间复杂度分析
时间复杂度
排序阶段：O(n log n)，使用快速排序或归并排序

遍历阶段：O(n)，线性扫描所有区间

总时间复杂度：O(n log n)

空间复杂度
存储区间：O(n)

额外空间：O(1)（如果不计排序所需的栈空间）

对贪心算法的理解

1. 贪心算法的本质
   贪心算法是一种局部最优导致全局最优的算法思想。它在每一步都做出当前看起来最优的选择，希望这样的局部最优选择能够导致全局最优解。

2. 贪心算法的适用条件
   使用贪心算法需要满足两个关键性质：

贪心选择性质：可以通过局部最优选择构建全局最优解

最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解

3. 贪心算法的优缺点
   优点：

实现简单，代码简洁

通常具有较高的效率

容易理解和调试

缺点：

不是所有问题都适用

需要严格的数学证明

可能得到次优解而非最优解