中国剩余定理及EX及单层EXLucas定理讲解

NOIP前恶补数论的感觉真是神清气爽啊！

教练问我们有什么知识点不会，一问到数论马上就GG了。

花了2个小时学习中国剩余定理。

好了废话少说，我们进入正题。

首先膜拜一下中国南北朝时期的数学家孙子(不是孙武)。

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

求最小的正整数解x。

当m₁--m_n相互互质时可以求解(若不互质可以通过扩展中国剩余定理求解)。

分几步求解：

1.求一下∏ⁿ_i=1m_i记为m

2.设Mi=m/m_i

3.设t_i满足M_i$\times$t_i≡1(mod m_i)

4.x=∑ⁿ_i=1Mi$\times$a_i$\times$t_i

至于第四步的原因

因为我们保证Mi是除了当前m_i之外所有模数的倍数，所以我们的第4步的理论依据是对于任意K(K≠i),Mi$\times$a_i$\times$t_i ≡ 0(mod m_k),所以Mi$\times$a_i$\times$t_i≡a_i(mod m_i).所以第4步成立。

问题来了，M_i和a_i好办，如何求t_i？

我们注意到M_i$\times$t_i≡1(mod m_i)。考虑扩展GCD，把它转换成ax+by=1解同余方程。

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ll tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
	return ;
}

解完之后，就可以求辣！

ll China()
{
	ll x,ans=0,y;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		m*=in[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		M[i]=m/in[i];
		exgcd(M[i],in[i],x,y);
		ans=(ans+a[i]*x*M[i])%m;
	}
	return (ans+m)%m;
}

中国剩余定理最基础题目的网站https://neooj.com:8082/oldoj/problem.php?id=1322　　

上代码

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll M[11];
ll t[11];
ll a[11];
ll in[11];
ll m=1;
ll n;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ll tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
	return ;
}
ll China()
{
	ll x,ans=0,y;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		m*=in[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		M[i]=m/in[i];
		exgcd(M[i],in[i],x,y);
		ans=(ans+a[i]*x*M[i])%m;
	}
	return (ans+m)%m;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&in[i],&a[i]);
	ll ans=China();
	printf("%lld",ans);
}

下面讲解扩展Lucas定理。

普通的Lucas定理长这样：　

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p(p为质数)

上个代码

#include<cstdio>
#define mod 10007
int fac[mod+2];
int inv[mod+2];
int lucas(long long n,long long m)
{
    if(n<m)
        return 0;
    if(n<mod&&m<mod)
        return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
    return lucas(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
int main()
{
    fac[0]=1,inv[mod-1]=mod-1;
    for(int i=1;i<=mod;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=mod-2;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    long long n,m;
    scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
    printf("%d\n",lucas(n,m));
}　　

对于p不是质数的情况我们可以向中国剩余定理的方向讨论。

若不是素数，将p分解质因数，将C(n,m)分别按照Lucas的方法求对p的质因数的模，然后用中国剩余定理合并。比如计算C(10,3)%14。C(10,3)=120,14有两个质因数2和7，120%2=0,120%7=1,这样用(2,0)(7,1)找到最小的正整数8即是答案，即C(10,3)%14=8非常简单。注意，这里只适用于p分解完质因数后每个质因数只出现一次.至于多次的,我不会(大写GG，有兴趣的可以学习一下.)

EX中国剩余定理

因为模数不是质数，所以我们采用两两合并的思想。

x=a1+m1$\times$y1

x=a2+m2$\times$y2

两方程联立，x≡a1+m1$\times$y1(mod lcm(m1,m2))

蒋神blog中有证明

https://www.cnblogs.com/ShuraK/p/7905790.html##11

上code：P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return gcd;
}
ll pow(ll x,ll y,ll mod)
{
    ll ans=0;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=(ans+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;
        y/=2;
    }
    return ans;
}
ll China()
{
    ll M=m[1];
    ll ans=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ll A=M,B=m[i],d=((a[i]-ans)%B+B)%B,x,y;
        ll gcd=exgcd(A,B,x,y);
        x=pow(x,d/gcd,B/gcd);
        M*=B/gcd;
        ans=(ans+x*A)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}