牛客练习赛77

C - 小G的约数

预备知识

整数分块

整数分块用来求类似如下的问题。
$给定正整数n，求 \sum_{i=1}^n[\frac{n}{i}]$
$性质1：设f(n) = [\frac{n}{i}], f是单调不增函数。$
证明
$对任意的x，f(x+1) - f(x) = [\frac{n}{x+1}] - [\frac{n}{x}]。$
$由于\frac{n}{x+1} < \frac{n}{x}，那么[\frac{n}{x+1}] <= [\frac{n}{x}]。$
$那么f(x+1) - f(x) <= 0。得证。$
$性质2：设集合P，自然数K。若任意的x \in P都有f(x) = K，一定有P = [l, r]。$
$换言之，下取整函数值相等的自变量一定落在连续区间内。$
$由性质1即得。$
$性质3：f(x) \ge 1。$
$这是由于x <= n。$
$性质4：给定n，任意给出正整数n，以及某一连续区间的左端点l，一定可以$
$求出这个区间的[\frac{n}{i}]，以及右端点r。设[\frac{n}{i}] = C。$
$证明：$
$1. 证明由n与l一定可以求出C。$
$由于l \in [l, r]，由性质2，f(l) = C。$
$2. 证明由n与l一定可以求出r。$
$我们定义W=[\frac{n}{C}]，可以证明r=W。$
$(1) 证明W \in [l, r]。$
$由定义，若f(W) = C, 那么C+1>\frac{n}{W} \ge C，即$
$n \ge C \times W 与$
$n < (C+1) \times W 同时成立$
$带入W，有$
$n \ge C \times [\frac{n}{C}] ①$
$n < (C+1) \times [\frac{n}{C}] ②$
$①等价于 \frac{n}{C} \ge [\frac{n}{C}]，显然成立$
$②等价于\frac{n}{C+1} < [\frac{n}{C}]。$
$将等号左边变形，易有$
$1 - \frac{1}{C+1} < [\frac{n}{C}]，即$
$1 < [\frac{n}{C}] + \frac{1}{C+1}。$
$由性质3，[\frac{n}{C}] \ge 1，不等式成立。$
$于是，W \in [l, r]得证。$
$(2) 证明 \forall x \in [l, r], x \le W。$
$即证明最大性。$
$即证，\forall x, x \le [\frac{n}{[\frac{n}{x}]}]。$
$由于x \le n, 易知n = kx + t，其中t < x。$
$原式等价于\forall x, x \le [\frac{kx+t}{[\frac{kx+t}{x}]}]$
$由于\frac{kx+t}{x} = k + \frac{t}{x} < k + 1$
$[\frac{kx+t}{x}] = k。$
$原式等价于\forall x, x \le [\frac{kx+t}{k}]$
$而[\frac{kx+t}{k}] = [x+\frac{t}{k}] \ge [x]$
$故原式等价于\forall x, [\frac{kx+t}{k}] \ge [x] = x，得证。$
$(1)(2)证毕。$

算法实现

以
$给定正整数n，求 \sum_{i=1}^n[n/i]$
为例。

ll ans = 0;
for(int l=1, r; l<=n; l=r+1)
{
	r = n / (n / l);
	ans += (r - l + 1) * (n / l);
}

复杂度分析

$对于i < \sqrt{n}，最多有\sqrt{n}种答案；$
$对于i>\sqrt{n}，由于\frac{n}{i} < \sqrt{n}，也最多只有\sqrt{n}种答案。$
$循环最多只会迭代2\sqrt{n}次，时间复杂度O(2\sqrt{n}) = O(\sqrt{n})。$

D - 小G的LY数对

预备知识

手写hashmap

挖坑

XOR

性质1 $a \oplus b = c \oplus d 等价于 a \oplus c = b \oplus d$
性质2 $a \oplus b = c 等价于a \oplus c = b $

实现

思路假了，这题卡STL
可以手写一个hashmap，不想手写hashmap的话可以这样解决
$题目等价于 x \oplus y = (1 << i) \oplus (1 << j)$
$由性质1 等价于 x \oplus (1<<i) = y \oplus (1<<j)$
$可以用map存一下所有x \oplus (1<<i)的值，然后再去枚举y \oplus (1<<j)$
$这里出现了一个问题，满足 x \oplus (1<<i) = y \oplus (1<<j)的未必满足 i \neq j，而想要结果是$
$异或存在两个1的，如果i = j了那么结果里只有一个1$
$考虑所有x, y的可能性$
$A. x = y, i \neq j, 此时x \oplus (1<<i) \neq y \oplus (1<<j). 结果中不会计算。$
$B. x \neq y, i \neq j，此时分两种情况$
$1. x \oplus (1<<i) = y \oplus (1<<j)。参算到结果中，是合法的结果。对于上面叙述的枚举顺序，容易发现对于每一对x, y是要遍历两次的。$
$即，x \oplus (1<<i) = y \oplus (1<<j)，与y \oplus (1<<j) = x \oplus (1<<i)$
$2. x \oplus (1<<i) \neq y \oplus (1<<j)。结果中不会计算$
$C. x = y, i = j, 此时x \oplus (1<<i) = y \oplus (1<<j)。参算到结果中，但是不合法的结果。对于上面叙述的枚举顺序，$
$每一个x = y只会被遍历一次。即，x \oplus (1<<i) = y \oplus (1<<j)，与y \oplus (1<<j) = x \oplus (1<<i)，但x = y。$
$D. x \neq y, i = j, 此时x \oplus (1<<i) \neq y \oplus (1<<j). 结果中不会计算。$
$综上所述，对于x \oplus (1<<i) = y \oplus (1<<j)的情况中，x = y 且 i = j的被算了一次，x\neq 且i \neq j的被算了两次$
$在枚举y \oplus (1<<j)更新ans之后，减去i = j的次数，再除以2就好了。$
$x = y 且 i = j的次数容易想到是x=y的组数 * i的个数$

这个思路说人话就是
$给a消去一个1，给b再消去一个1，看看最后相等的组数$
$消去的1相同的那些组是不合法的，此时找a = b的对数即可$
$消的过程中难免因为顺序会出现重复，/2即可$

posted @ 2021-02-27 01:13 2wx 阅读(40) 评论(0) 收藏举报

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