组合概率期望

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题意：\(n\) 个球 \(1\) 个黑 \(n-1\) 个白，黑球初始在最左边，每次放回随机选 \(2\) 球交换（同 \(1\) 个不交换），设 \(k\) 次后在第 \(x\) 个，求 \(x\) 期望。

  对称性 \(f_k\) 为第 \(k\) 轮黑在最左边概率，那么在其他位置概率 \(\frac{1-f_k}{n-1}\)，将黑球移到任意位置概率 \(p=\frac{2}{n^2}\)
\(f_k\) 转移：\(f_k = f_{k-1} * (1 - (n - 1) * p) + (1 - f_{k-1}) * p\)
期望 \(\mathbb{E}[x] = f_k * 1 + \frac{1-f_k}{n-1}*(2+\cdots+n) = f_k + \frac{n+2}{2}(1-f_k)\)

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