复分析2-Cauchy 定理

复变函数积分

  设 \(\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}\) 为一条可求长曲线，取分点 \(a=z_0,z_1,\cdots,z_n=b\)，把 \(\gamma\) 分成 \(n\) 小段，第 \(k\) 段记做 \(\gamma_k\)，在 \(\gamma_k\) 上取点 \(\zeta_k=\xi_k+i\eta_k\)，作 Riemann 和 \(S=\displaystyle\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1})\)，当 \(\lambda=\max\limits_{1\le k\le n}s_k\) (\(s_k\) 是 \(\gamma_k\) 的弧长) 趋于 0 时，S 趋于一极限值，该极限值称为 \(f(z)\) 沿定向曲线 \(\gamma\) 的积分：

\[\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1}) \]

定理 设 \(\gamma\) 是可求长曲线，\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 是 \(\gamma\) 上的连续函数，\(z=x+iy\)，有

\[\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=\int_\gamma u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int_{\gamma}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y \]

  在曲线积分中有定理，当 \(\gamma\) 为光滑或逐段光滑曲线 \(\gamma(t)=x(t)+iy(t)\ (\alpha\le t\le\beta)\)：

\[\int_\gamma u\mathrm{d}x+v\mathrm{d}y=\int_\alpha^\beta[u(x(t),y(t))x^{'}(t)+v(x(t),y(t))y^{'}(t)]\mathrm{d}t \]

  可以推导出

\[\int_\gamma f(z)\mathrm dz=\int_\alpha^\beta f[\gamma(t)]\gamma^{'}(t)\mathrm dt. \]

例：计算 \(\displaystyle\int_\gamma\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\)，\(a\in\mathbb{C},n\in\mathbb N^*\)，\(\gamma\) 是以 \(a\) 为圆心，\(r\) 为半径的正向圆周。

  解：\(\gamma\) 的参数方程 \(z=a+re^{i\theta},0\le\theta\le2\pi\)，则

\[\begin{array}{l} \displaystyle\int_\gamma\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\mathrm dz&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}}{(re^{i\theta})^{n+1}}\\ &=&\displaystyle\frac{i}{r^n}\int_0^{2\pi}e^{-in\theta}\mathrm d\theta\\ &=&\begin{cases}2\pi i,&n=0\\0,&n>0\end{cases} \end{array}\]

这是一个结论。

Cauchy 定理

定理(Cauchy 定理 Cauchy’s theorem) 设 \(D\subset\mathbb{C}\) 为单连通域，函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内解析，\(\gamma\) 是 \(D\) 内任意一条可求长 Jordan 曲线，则

\[\int_\gamma f(z)\mathrm dz=0 \]

proof: 在更强的条件下（需满足 Green 公式条件），设 \(f=u+iv\) 转化为曲线积分，利用 Green 公式有

\[\begin{array}{l}\displaystyle\int_\gamma f(z)\mathrm dz&=&\displaystyle\int_\gamma u\mathrm dx-v\mathrm dy+i\int_\gamma v\mathrm dx+u\mathrm dy\\ &=&\displaystyle\iint_\Omega\left(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy+i\iint_\Omega\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy \end{array}\]

由 Cauchy-Riemann 方程，两项都为 0，证毕。

Cauchy 积分公式

定理(Cauchy 积分公式 Cauchy’s integral formula) 设 \(D\) 为由可求长 Jordan 曲线 \(\gamma\) 围成的单连通区域，函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内解析，在 \(\overline D\) 上连续，则 \(\forall z\in D\)，有

\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm d\zeta \]

定理(平均值公式 Mean value property) 设函数 \(f(z)\) 在 \(|z-z_0|\lt R\) 解析，则

\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})\mathrm d\theta\quad(0\lt r\lt R) \]

由平均值公式可导出下面的定理

定理(最大模原理 Maximum modulus principle) 若函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，且不为常数，则 \(|f(z)|\) 在 \(D\) 内取不到它的最大值。

定理(Cauchy 不等式 Cauchy’s inequality) 若函数 \(f(z)\) 在圆 \(|z-a|\lt R\) 解析，并且 \(|f(z)|\le M\)，则

\[|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M}{R^n} \]

定理(Liouville 定理 Liouville’s theorem) 若函数 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 上解析（这样的 \(f(z)\) 称为整函数），且有界，则 \(f(z)\) 必为一常数。

可以用来证明代数基本定理

定理(代数基本定理 Fundamental theorem of algebra) 任何 \(\mathbb{C}\) 上的多项式 \(f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0\) 一定有零点，除非它是常数。