[poj3420] Quad Tiling

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题意

  在一个\(4\times n\ (1\leq n\leq10^9)\)的矩形里，用\(2\times1\)的多米诺骨牌来平铺，问铺满的方法有多少种。

法一

  考虑递推，设所求方法数为\(f(n)\)，矩形为4行\(n\)列，则该矩形必定由列不可分割的小矩形组成，设\(4\times n\)的列不可分割矩形有\(g(n)\)个，那么我们有递推关系：

\[f(n)=\sum_{k=1}^{n-1}f(n-k)g(k) \]

  易知\(g(n)\)前几项为\(g(1)=1,g(2)=4,g(3)=2,g(4)=3\)，继续推导知\(n>2\)时，奇数项为\(2\)，偶数项为\(3\)，而

\[f(n-1)=\sum_{k=1}^{n-2}f(n-k)g(k) \]

两式相减并化简得

\[f(n)=f(n-1)+5f(n-2)+f(n-3)-f(n-4) \]

用矩阵快速幂加速：

\[\begin{pmatrix}f(n)\\f(n-1)\\f(n-2)\\f(n-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&5&1&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f(n-1)\\f(n-2)\\f(n-3)\\f(n-4)\end{pmatrix} \]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

#define debug(x) cout << #x << " is " << x << endl
#define inc(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
typedef long long ll;
const int INF = 2e9;

int n, m;

struct mat {
	int g[5][5];
	mat operator * (const mat &b) const{
		mat tmp;
		memset(tmp.g, 0, sizeof(tmp.g));
		for (int i = 1; i <= 4; ++i)
			for (int j = 1; j <= 4; ++j)
				for (int k = 1; k <= 4; ++k)
					tmp.g[i][j] = (tmp.g[i][j] + g[i][k] * b.g[k][j]) % m;
		return tmp;
	}
};

int solve(int p) {
	mat a, res;
	memset(a.g, 0, sizeof(a.g));
	memset(res.g, 0, sizeof(res.g));
	a.g[1][1] = 1; a.g[1][2] = 5; a.g[1][3] = 1; a.g[1][4] = -1;
	a.g[2][1] = a.g[3][2] = a.g[4][3] = 1;
	for (int i = 1; i <= 4; ++i) res.g[i][i] = 1; 
	for (; p; a = a * a, p >>= 1)
		if (p & 1) res = a * res;
	mat b;
	memset(b.g, 0, sizeof(b.g));
	b.g[1][1] = 11; b.g[2][1] = 5;
	b.g[3][1] = b.g[4][1] = 1;
	res = res * b;
	return (res.g[1][1] + m) % m;
}

int main()
{
	while (scanf("%d%d", &n, &m) && (n | m)) {
		if (n == 1) printf("%d\n", 1 % m);
		else if (n == 2) printf("%d\n", 5 % m);
		else if (n == 3) printf("%d\n", 11 % m);
		else printf("%d\n", solve(n - 3));
	}
	return 0;
}

法二

  通过状压DP+矩阵加速求解。

  如果一个骨牌是横着放的，那么它所在的两个方格都填充1。如果它是竖着放的，那么它所在的两个格子中，上面的那个填0，下面的这个填1。

  用pre表示前一行的二进制形式，now表示当前行的二进制形式，c表示当前的列数。通常较小的数作为列，行列有一个稍大时，就需要构造矩阵解决，该题是列为4，所以pre和now的值最多有16种。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

#define debug(x) cout << #x << " is " << x << endl
#define inc(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
typedef long long ll;
const int INF = 2e9;

int n, m;

struct mat {
	int g[20][20];
	mat operator * (const mat &b) const{
		mat tmp;
		memset(tmp.g, 0, sizeof(tmp.g));
		for (int i = 0; i < 16; ++i)
			for (int j = 0; j < 16; ++j)
				for (int k = 0; k < 16; ++k)
					tmp.g[i][j] = (tmp.g[i][j] + g[i][k] * b.g[k][j]) % m;
		return tmp;
	}
}path;

void dfs(int c, int pre, int now) {
	if (c == 4) { ++path.g[pre][now]; return; }
	dfs(c + 1, pre<<1 | 1, now<<1); // 不放
	dfs(c + 1, pre<<1, now<<1 | 1); // 竖放
	if (c < 3) dfs(c + 2, pre<<2 | 3, now<<2 | 3); // 横放
}

int solve() {
	mat res, t;
	t = path;
	memset(res.g, 0, sizeof(res.g));
	for (int i = 0; i < 16; ++i) res.g[i][i] = 1;
	for (; n; t = t * t, n >>= 1)
		if (n & 1) res = res * t;
	return (res.g[15][15] + m) % m;
}

int main() 
{
	memset(path.g, 0, sizeof(path.g));
	dfs(0, 0, 0);
	while (scanf("%d%d", &n, &m) && (n | m)) {
		printf("%d\n", solve());
	}
    return 0;
}