Z Algorithm

默认字符串为 \(s\)，长度为 \(n\)，从 \(0\) 下标。\(s[l, r]\) 表示 \(s\) 中下标在 \(l \sim r\) 的字串。

扩展 KMP 算法需要解决这样的问题：求出一个数组 \(z_i\)，表示 \(s[i,n-1]\) 和 \(s\) 的最长公共前缀长度。

不难发现这个算法解决的问题与 KMP 算法看上去是相似的（KMP 是从 \(i\) 往前找，与 \(s\) 匹配的最长前缀；而扩展 KMP 是往后找），尽管两者的解决方法完全不同。

显然可以通过二分+哈希在 \(\mathcal O(n \log n)\) 的复杂度内轻松解决，但其并没有正确性保障，且复杂度偏高。而扩展 KMP 可以在线性时间复杂度内解决这个问题，且代码复杂度并不复杂许多。

接下来介绍这个算法的流程。

我们按照从前往后的顺序递推地求出 \(z_i\)，即我们默认 \(z_0 \dots z_{i-1}\) 均已求解。

根据定义，\(s[0,z_i-1]\) 和 \(s[i,i+z_i-1]\) 是相同的。令 \(j \in [0,i-1]\) 中最大的 \(j+z_j-1\) 为 \(r\)，这个 \(j\) 为 \(l\)。那么 \(s[l,r] = s[0,r-l]\)。初始 \(l=r=0\)。

此时显然有 \(l \le i\)。我们讨论 \(i\) 与 \(r\) 的关系。

下图中相同颜色的线段所代表的子段是相同的。原因请分别思考。

• \(i \le r\)：

  

  显然 \(s[i-l,r-l]=s[i,r]\)。此时考察 \(z_{i-l}\)。进行分类讨论：

  • \(i + z_{i-l} \le r\)，即：

    

  显然 \(s_{z_{i-l}} \ne s_{i-l+z_{i-l}}\)（\(z_{i-l}\) 的定义）。而 \(s_{i-l+z_{i-l}} = s_{i+z_{i-l}+1}\)（都在红色线段内），所以 \(s_{z_{i-l}} \ne s_{i+z_{i-l}+1}\)。所以 \(z_i = z_{i-l}\)。

  • \(i+z_{i-l}>r\)，即：

    

    此时我们无法保证 \(s_{i-l+z_{i-l}} = s_{i+z_{i-l}+1}\)，所以没有快速递推的方法。但是显然 \(z_i \ge r-i+1\)，于是直接令 \(z_i = r-i+1\)，然后暴力枚举下一个字符扩展直到 \(z_i\) 不能扩展为止。

    \(z_i \ge r-i+1\) 意味着 \(i + z_i-1 \ge r\)，也就是 \(r\) 一定会增大。而 \(r\) 最大为 \(n-1\)，所以这里的暴力平摊是 \(\mathcal O(1)\) 的。

• \(i > r\)：从 \(0\) 开始暴力匹配即可。复杂度正确的原因同上。

代码直接写会很丑陋：

for (int i = 0, l = 0, r = 0; i < n; ++ i ) {
	if (i <= r) {
		if (i + z[i - l] <= r) {
			z[i] = z[i - l];
		} else {
			z[i] = r - i + 1;
			while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) z[i] ++ ;
		}
	} else {
		z[i] = 0;
		while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) z[i] ++ ;
	}
	if (i + z[i] - 1 > r) {
		l = i, r = i + z[i] - 1;
	}
}

优化后：

for (int i = 0, l = 0, r = 0; i < n; ++ i ) {
	if (i + z[i - l] <= r) {
		z[i] = z[i - l];
	} else {
		z[i] = max(0, r - i + 1);
		while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) z[i] ++ ;
	}
	if (i + z[i] - 1 > r) {
		l = i, r = i + z[i] - 1;
	}
}