24/05/08 图论

\(\color{purple}(1)\) CF746G New Roads

• 构造一棵 \(n\) 个点的深度为 \(t\) 的树，以 \(1\) 为根，使其中深度为 \(i\) 的点有 \(a_i\) 个且叶节点有 \(k\) 个。或报告无解。
• \(t, k \le n \le 2 \times 10^5\)。

为了方便，我们令根节点的深度为 \(1\)。所有读入都向后顺延一位。

首先计算这棵树最多和最少有几个叶子节点，那么如果 \(k\) 不在这个范围内则无解。那么模拟样例二：

第一个观察是无论如何构造，最后一层的节点一定是叶子节点，且第一层一定不是叶节点。

可以发现叶子最多的情况，是每一层的节点都连向上一层的同一个节点，即 \(k_{\max} = a_t + \sum_{i=1}^{t-1} (a_i - 1)\)。叶子最少的情况，是每一层的节点都尽可能多的连向上一层的不同的点，直到不能连为止，即 \(k_{\min} = a_t + \sum_{i=1}^{t-1}\max(a_i - a_{i + 1}, 0)\)。

除第一层外和最后一层外，每一层的叶子节点数一定不会少于 \(a_i - a_{i + 1}\)（如左图）且不会超过 \(a_i - 1\)（如右图）。那么我们可以处理出 \(b_2, b_3, \dots, b_{t - 1}\) 表示我们将要在第 \(i\) 层构造出 \(b_i\) 个叶子节点。需要保证 \(\max(0, a_i - a_{i + 1}) \le b_i \le a_i - 1\) 且 \(\sum_{i=2}^{t-1} b_i = k - a_t\)。这是极易做到的。

然后考虑根据 \(b\) 数组构造整棵树。显然我们需要满足第 \(i\) 层中有 \(a_i - b_i\) 个点不是叶子节点，即连接至少一个下一层的点。那么直接模拟构造即可。

$\color{blue}\text{Code}$

int n, k, t, a[N], sum[N];

int Id(int a, int b) {		// 第 a 层的第 b 个点
	return sum[a - 1] + b;
}

int mn() {
	int res = a[t];
	for (int i = 1; i < t; ++ i )
		if (a[i] > a[i + 1]) res += a[i] - a[i + 1];
	return res;
}

int mx() {
	int res = a[t];
	for (int i = 1; i < t; ++ i )
		res += a[i] - 1;
	return res;
}

int b[N];
vector<pair<int, int> > res;

void build_b() {
	int lst = k - a[t];
	for (int i = 2; i < t; ++ i ) {
		b[i] = max(0ll, a[i] - a[i + 1]);
		lst -= b[i];
	}
	
	for (int i = 2; i < t; ++ i ) {
		int tmp = min(lst, a[i] - 1 - b[i]);
		b[i] += tmp;
		lst -= tmp;
	}
}

void Luogu_UID_748509() {
	fin >> n >> t >> k;
	
	++ t;
	sum[1] = 1;
	a[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= t; ++ i ) fin >> a[i], sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	
	if (k < mn() || k > mx()) puts("-1");
	else {
		build_b();
		for (int i = 1; i < t; ++ i ) {
			int x = a[i] - b[i];
			for (int j = 1; j <= x; ++ j )
				res.emplace_back(Id(i, j), Id(i + 1, j));
			for (int j = x + 1; j <= a[i + 1]; ++ j )
				res.emplace_back(Id(i, x), Id(i + 1, j));
		}
		fout << n << '\n';
		for (auto t : res) fout << t.first << ' ' << t.second << '\n';
	}
}

\(\color{blue}(2)\) CF698B Fix a Tree

• 对于一棵大小为 \(n\) 的有根树，我们定义 \(f_i\)：

  • 对于非根节点 \(i\) 有 \(f_i=fa_i\)，也就是 \(i\) 的父节点。
  • 对于根节点 \(root\)，有 \(f_{root}=root\)。

  这样的 \(f\) 数组对应了一棵有根树。

  现给你一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，你需要修改尽量少的数组元素，使得该数组能够对应一棵有根树。

• \(a_i \le n \le 2 \times 10^5\)。

显然原图构成了若干棵树和基环树。我们要做的是将它们合并。

首先我们可以钦定一个点作为根节点。若原图中存在 \(a_i = i\) 的情况，就把这个 \(i\) 钦定为根。反之如果不存在，就随便找一个环，并钦定环上某个点为根即可。

然后对于每个环，我们希望破坏这个环使得整个图成为树。那么任选其中一个点，并将这个点指向根即可。

$\color{blue}\text{Code}$

int n, a[N], f[N], st[N], cnt, root;

void dfs(int u, int cnt) {
	st[u] = cnt;
	if (f[u] == u) {
		if (!root) root = u;
		else f[u] = root;
	}
	else if (st[f[u]]) {
		if (st[f[u]] == cnt) {
			if (!root) {
				root = u;
				f[u] = u;
			}
			else f[u] = root;
		}
	}
	else dfs(f[u], cnt);
}

void Luogu_UID_748509() {
	fin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		fin >> a[i];
		f[i] = a[i];
		if (i == f[i]) root = i;
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; ++ i )
		if (!st[i]) dfs(i, ++ cnt);
	
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i ) res += a[i] != f[i];
	fout << res << '\n';
	for (int i = 1; i <= n; ++ i ) fout << f[i] << ' ';
}