P4168

P4168

题意简述

给定一个长度为 $ n $ 的序列 \(a_i\)

强制在线 区间求众数

如果有多个众数,求其中最小的

\(m\) 次询问

\(1≤n≤40000\)，$ 1≤m≤50000 $,\(1≤a_i≤10^9\)

Solution

首先值域与 $ n $ 的大小相差极大

离散化是必然的

已知区间 \([x,y]\) 的众数与区间 \([y+1,z]\) 的众数难以推出 \([x,z]\) 的众数,因此不好使用线段树或树状数组等维护

分块连接大脑,卡常代替思考

容易想到分块,预处理出以每一个块的右边界为右端点的前缀的桶.

for(int i = 1;i<=cntb;i++){
    memcpy(cnt[i],cnt[i-1],sizeof(cnt[i]));//继承上一个桶
    for(int j = L[i];j<=R[i];j++){//本块内出现的数
        cnt[i][a[j]]++;//维护以本块右边界为右端点的前缀的桶
    }
}
for(int i = 1;i<=cntb;i++){
    for(int j = i;j<=cntb;j++){
        //md即为众数
        //新的区间的众数只有可能是上一个区间的众数或新块内的数
        md[i][j] = md[i][j-1];//继承上一个众数区间
        for(int k = L[j];k<=R[j];k++){//新的块
            int t1 = a[k];
            int t2 = md[i][j];
            if((cnt[j][t1]-cnt[i-1][t1]>cnt[j][t2]-cnt[i-1][t2])||((cnt[j][t1]-cnt[i-1][t1]==cnt[j][t2]-cnt[i-1][t2]) && (t1<t2))){
                md[i][j] = t1;//计算众数
            }
        }
    }
}

对于每一次询问,答案显然只有可能是连续整块的众数或是散块内出现的数

整块直接查询.散块暴力即可.

分析复杂度:

设块长为 \(B\) ,则块数为 \(\frac{n}{B}\) ,预处理 \(O(\frac{n}{B}*\frac{n}{B} * B) = O(\frac{n^2}{B})\)

单次询问 \(O(B)\), \(m\) 次即为 \(O(mB)\)

总复杂度 \(O(\frac{n^2}{B}+mB)\)

为平衡这两项,\(B\) 应取 \(\frac{n}{\sqrt{m}}\)

此时复杂度 \(O(n \sqrt{m})\)

足以通过此题

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using ld = long double;
using namespace std;
namespace myspace{
    const char endl = '\n';
    const int maxn = 4e4+50;
    const int B = 512;
    const int maxb = maxn/B+50;
    int b[maxn],a[maxn];
    int cnt[maxb][maxn];
    int tmp[maxb][maxn];
    int md[maxb][maxb];
    int n,m;
    int cntb;
    int bel[maxn];
    int L[maxn],R[maxn];
    void init(){
        cntb = (n-1)/B+1;
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            bel[i] = (i-1)/B+1;
        }
        for(int i = 1;i<=cntb;i++){
            L[i] = B*(i-1)+1;
            R[i] = min(B*i,n);
        }
        for(int i = 1;i<=cntb;i++){
            memcpy(cnt[i],cnt[i-1],sizeof(cnt[i]));
            memcpy(tmp[i],tmp[i-1],sizeof(tmp[i]));
            for(int j = L[i];j<=R[i];j++){
                cnt[i][a[j]]++;
                tmp[i][a[j]]++;
            }
        }
        for(int i = 1;i<=cntb;i++){
            for(int j = i;j<=cntb;j++){
                md[i][j] = md[i][j-1];
                for(int k = L[j];k<=R[j];k++){
                    int t1 = a[k];
                    int t2 = md[i][j];
                    if((cnt[j][t1]-cnt[i-1][t1]>cnt[j][t2]-cnt[i-1][t2])||((cnt[j][t1]-cnt[i-1][t1]==cnt[j][t2]-cnt[i-1][t2]) && (t1<t2))){
                        md[i][j] = t1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    il int qry(int l,int r){
        if(l>r){
            swap(l,r);
        }
        int bl = bel[l];
        int br = bel[r];
        int ans = md[bl+1][br-1];
        if(br-bl<=1){
            for(int i = l;i<=r;i++){
                cnt[0][a[i]]++;
                if(cnt[0][a[i]]>cnt[0][ans] || (cnt[0][a[i]] == cnt[0][ans] && a[i]<ans)){
                    ans = a[i];
                }
            }
            for(int i = l;i<=r;i++){
                cnt[0][a[i]]--;
            }
            return ans;
        }
        for(int i = l;i<=R[bl];i++){
            cnt[br-1][a[i]]++;
            if((cnt[br-1][a[i]]-tmp[bl][a[i]]>cnt[br-1][ans]-tmp[bl][ans]) || (((cnt[br-1][a[i]]-tmp[bl][a[i]]==cnt[br-1][ans]-tmp[bl][ans])) && (a[i]<ans))){
                ans = a[i];
            }
        }
        for(int i = L[br];i<=r;i++){
            cnt[br-1][a[i]]++;
            if((cnt[br-1][a[i]]-tmp[bl][a[i]]>cnt[br-1][ans]-tmp[bl][ans]) || (((cnt[br-1][a[i]]-tmp[bl][a[i]]==cnt[br-1][ans]-tmp[bl][ans])) && (a[i]<ans))){
                ans = a[i];
            }
        }
        for(int i = l;i<=R[bl];i++){
            cnt[br-1][a[i]]--;
        }
        for(int i = L[br];i<=r;i++){
            cnt[br-1][a[i]]--;
        }
        return ans;
    }
    int x;
    signed main(){
        ios::sync_with_stdio(0);
        cin.tie(0);cout.tie(0);
        cin >> n >> m;
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            cin >> b[i];
            a[i] = b[i];
        }
        sort(b+1,b+1+n);
        int tn = unique(b+1,b+1+n)-b-1;
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            a[i] = lower_bound(b+1,b+1+tn,a[i])-b;
        }
        init();
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            int l,r;
            cin >> l >> r;
            l = (l+x-1)%n+1;
            r = (r+x-1)%n+1;
            x = b[qry(l,r)];
            cout << x << endl;
        }
        return 0;
    }
}
signed main(){
    #ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
        freopen("in.in","r",stdin);
        freopen("out.out","w",stdout);
    #endif
        myspace::main();
        return 0;
}