BSGS

用途

用途就是求一个最小的\(x\)，满足
\(a^{x}\equiv b\pmod p\)
手法就是把\(x\)拆成\(m\)进制数
然后考虑拼凑即可
这个时候预处理\(O(m)\)，拼凑\(O(\frac{n}{m})\)
所以时间复杂度就是\(O(\frac{n}{m}+m)\)
\(m=\sqrt{n}\)取最优解，最优时间复杂度为\(O(\sqrt{n})\)

实现

具体操作：
设\(x=i\cdot m-j\)时，原方程成立
则：
\(a^{i\cdot m-j}\equiv b\pmod p\)
移项，得：
\(a^{i\cdot m}\equiv b\cdot a^{j}\pmod p\)
于是直接预处理所有的\(b\cdot a^j\pmod p\)的取值
然后枚举\(i\),如果能查到就可以直接拼凑了

拓展

对于矩阵的BSGS

\(n\)次剩余

模数不是质数