信号杂选
时域
时域运算即卷积，卷积是最为直观的
但是，卷积的运算类似多项式乘法，非常慢
所以，一般用卷积的时候都是只是描述系统
典型信号
复指数信号 \(x(t)=e^{st},s=\sigma+j\omega.\)
后面非常常见，\(Re[s]\) 表示模长/幅度，\(Im[s]\) 表示相角
还有采样信号 \(\text{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t}\)
冲激信号 \(\delta(t)=\begin{cases}\inf,& t=0\\ 0,&\text{otherwise}\end{cases}\) 并满足 \(\int^{+\infty}_{-\infty} \delta(t)=1\)
单位阶跃信号 \(u(t)=\begin{cases}1,& t\geq 0\\ 0,&\text{otherwise}\end{cases}\)
单位斜坡信号 \(r(t)=tu(t)\)
冲激偶信号 \(\delta'(t)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\delta(t)\)
利用这些信号可以组成一些别的信号：
符号函数 \(\text{sgn}(t)=2u(t)-1\)
门信号 \(G_{2\tau}=u(t+\tau)-u(t-\tau)\)
离散的冲激信号因为是对有限的点集求积分等价于求和
所以要写成 \(\delta(n)=\begin{cases}1,& n=0\\ 0,&\text{otherwise}\end{cases}\)
离散信号的话没有冲激偶信号，等价的替代是差分，稍后再说
判别
因果信号要求是右边的，就是 \(\forall t<0,x(t)=0\)
功率与能量信号看输出能量是否收敛，即 \(\int^{+\infty}_{-\infty}|x(t)|^2\text{d}t\) 是否存在，
存在即为能量信号
如果不存在看 \(\lim\limits_{T\to \infty} \frac{\int^{+\infty}_{-\infty}|x(t)|^2\text{d}t}{T}\) 是否存在
存在即为功率信号
\(y(t)=T[x(t)]\) 就是一个系统，其中 \(T\) 是一个变换
这个变换当然可以是任何类型
线性性:满足线性可加性，
即 \(T[ax_1+bx_2]=aT(x_1)+bT(x_2)\)
要求可以被分解成零输入和零状态两个响应
一般而言，要求只有加法，数乘和微积分，且只有一次项
这里的数乘认为变量 \(t\) 是个常数项
时不变：\(T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)\)
要求变换只和 \(x\) 有关
因果性：要求系统函数 \(h(t)\) 是一个因果信号
信号的展缩等变换
令 \(T=at+b\) 则 \(x(at+b)=x(T)\)
将每一个 \(t\) 找到对应的 \(T\) 画下来即可
线性时不变系统的响应
注：以下“系统”无特殊说明下均指线性时不变系统
\(\delta(t)\) 有以下几条性质：
\(1.x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)\Rightarrow x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t)\)
\(2.\int^{+\infty}_{-\infty} x(t)\delta(t)\text{d}t=x(0)\)
性质 \(1\) 是显然的，因为除开 \(0\) 或者 \(t_0\) 以外的所有位置全部被变成 \(0\)
然后 \(x(0)\) 或者 \(x(t_0)\) 就以系数的形式分给了 \(\delta\)
利用性质 \(1\) 计算性质 \(2\) 可得
将 \(x(0)\) 提出，后面代入 \(\delta\) 的定义，即为 \(1\)
为什么要讲这个？
考虑一个系统，它对 \(\delta\) 的响应 \(h(t)\)
那么考虑对于每个 \(t_0\) 的贡献 \(x(t_0)\)
由性质 \(1\) 可知，系统在该点产生的贡献应该是 \(x(t_0)\cdot h(t-t_0)\)
后面那个 \(t-t_0\) 是因为响应的时候把 \(t_0\) 当成原点算的
所以如果你想让 \(0\) 变回原点，就需要坐标变换
继续考虑 \(x\) 的全部贡献，本质上是所有的 \(x(t_0)\cdot h(t-t_0)\) 求和
即 \(y(t)=\int^{+\infty}_{-\infty} x(t_0)\delta(t-t_0)\text{d}t_0\)
上述式子即为卷积，可简写为 \(y(t)=x(t)*h(t)\)
根据性质 \(1\) 的推广再加上性质 \(2\),可以发现
每一个 \(\delta(t-\tau)\) 都会激发一个 \(h(t-\tau)\) 的响应
所以总的来说，就有
可以证明，卷积有如下性质：
交换律：因为积分上下限是正负无穷，所以交换 \(\tau\) 和 \(t-\tau\) 没有本质变化
结合律：证明过程很长，待补
分配律：先把信号在积分里用乘法分配律拆开，再用积分线性性即得
考虑把卷积每一个响应当成一次系统操作，会有：
\(\delta(t)\)：单位元
\(\delta(t-t_0)\)：延时器
\(u(t)\)：积分器
\(\delta'(t)\)：微分器
离散的过程其实会更体现其类似多项式的性质
不过不一样的是，其实离散是没有“微分”这一概念的
为了描述增量，通常用“差分”来描述
所以 \(\delta(n-n_0)\) 通常还描述差分
常见卷积的计算
\([e^{\lambda_1t}u(t)]*[e^{\lambda_2t}u(t)]=\begin{cases}\frac{e^{\lambda_1t}-e^{\lambda_2t}}{\lambda_1-\lambda_2}u(t),& \lambda_1\not =\lambda_2\\ te^{\lambda_1t}u(t),&\text{otherwise}\end{cases}\)
\(\lambda_1=\lambda_2\) 的部分是显然的，算前半部分即可
注意 \(u(t)\) 对积分限的限制作用，有
把 \(e^{\lambda_2t}\) 先提出去，有
对后面直接积分，有
还有一个是门和门的卷，\(\tau_1\leq\tau_2\)
\(G_{\tau_1}(t)*G_{\tau_2}(t)=r(t+\frac{\tau_1+\tau_2}{2})-r(t+\frac{\tau_1-\tau_2}{2})-r(t+\frac{\tau_2+\tau_1}{2})+r(t-\frac{\tau_1+\tau_2}{2})\)
这个一般来讲就是爬上坡是从 \(-\frac{\tau_1+\tau_2}{2}\) 开始，到 \(\frac{\tau_1-\tau_2}{2}\) 结束，那么爬下坡就是 \(\frac{\tau_2-\tau_1}{2}\) 开始，\(\frac{\tau_1+\tau_2}{2}\) 结束
爬坡的斜率都是 \(1\)，
可以推出，如果是 \(\tau_1=\tau_2\) 输出就是三角波 \(\Lambda_{2\tau}(t)\)
否则那当然是梯形波啦
注意 \(u(n)*u(n)=(n+1)u(n)\)
接下来当然还是等比的卷积和
\([\lambda_1^{n}u(n)]*[\lambda_2^{n}u(n)]=\begin{cases}\frac{\lambda_1^{n+1}-\lambda_2^{n+1}}{\lambda_1-\lambda_2}u(n),& \lambda_1\not =\lambda_2\\ (n+1)\lambda_1^{n}u(n),&\text{otherwise}\end{cases}\)
后半部分依旧显然，依旧直接算前半部分
通个分
零输入/零状态响应的区分
还有自然/受迫响应，
自然相应是指和 \(h(t)\) 相同的部分，受迫响应自然是不同的部分
稳态和瞬态响应是指响应在 \(t\to \infty\) 的时候是否稳定的存在
如果某些响应项是 \(0\) 就是瞬态响应，是非 \(0\) 定值就是稳态响应
系统因果，是指零状态响应不会早于输入出现
判据是 \(h(t)\) 因果
系统稳定，是指 \(h(t)\) 可积
频域
时域是从实轴看变化
频域是从虚轴看不变
连续周期信号的傅里叶级数
事实上，任意一个满足狄利克雷条件的信号，均可以分解成傅里叶级数的形式
这是因为三角函数的正交性
即必然有
其中 \(a_0=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}x(t)\text{d}t,a_k=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}x(t)\cos (k\omega_0 t)\text{d}t,b_k=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}x(t)\sin (k\omega_0 t)\text{d}t\)
考虑将 \(\cos (k\omega_0 t)\) 和 \(\sin (k\omega_0 t)\) 用和差角进行合并，即得
会发现，我们把信号分解成了某个频率信号的自然数倍并进行叠加
这个频率 \(\omega_0=\frac{2\pi}{T}\) 即为基频，\(c_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}\) 即为幅度，\(\varphi_k=\arctan \frac{b_k}{a_k}\) 即为相位
利用三角函数的诱导公式，我们可以得出一些性质
正弦信号是奇函数，余弦信号是偶函数
所以奇函数的分解傅里叶级数正弦项，对应相位角为 \(\frac{\pi}{2}\)
偶函数的傅里叶级数则只含余弦项，对应相位角为 \(0\)
半波像对称信号的傅里叶级数只含奇次项，
因为加 \(k\pi\) 反相说明 \(k\) 是奇数
半波对称信号的傅里叶级数则反之是只含偶数项
利用 \(\cos x=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}\)，
我们可以把傅里叶级数写成如下形式
可以观察到双边谱的相位是相反的，幅度是相同的
所以有实信号的幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数
对上述式子整理，可以得到一般形式 \(x(t)=\sum\limits^{\infty}_{k=-\infty}X_ke^{jk\omega _0t}\)
其中，\(X_k=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_0t}\text{d}t\)
这个还是凑正交性凑出来的
同时，我们可以借助傅里叶级数完成能量的计算
如果是三角形式，考虑 \(x(t)\) 是实数，会发现共轭实际上并没有共轭
然后所有 \(k\omega_0t\) 不相等的项全部消完，剩下的一个周期内的积分是 \(\frac{1}{2}\)，会有
上述即为帕塞瓦尔定理，其本质是时域与频域的能量守恒
帕塞瓦尔定理的证明当然有复数形式的
把共轭的部分展开代进去
考虑交换求和次序，有
后面那一项是傅里叶级数的复数形式的定义
经典的还是离不开门信号，变成了 \(\text{Sa}\)
但是证明的话就暂时不在这里算了
注意到傅里叶级数本质上相当于傅里叶变换取出 \(k\omega_0\) 的部分
实际上就是抽了一个基频，不过这个基频的性质好到完全不失真
连续非周期信号的傅里叶变换
推导
如果一个信号完全由正余弦组成，
那性质太好了就会只有有限项
但是信号性质没那么好怎么办？
没有关系，有周期性就可以
如果一个信号有周期性，那么上面的那个分解就会有一个基频
但是信号性质没那么好怎么办？
没有关系，有狄利克雷条件就可以整
非周期无非是 \(T\to \infty\)
考虑 \(x(t)=\sum\limits^{\infty}_{k=-\infty}X_ke^{jk\omega_0t}\)
\(T\to \infty\Rightarrow\omega_0\to 0\) 有
等等？如果要从求和转成积分的话是不是少了一个 \(\text{d}\omega\)
前面是不是刚好有一个 \(\frac{1}{T}\to 0\) 并且和 \(\omega\) 有很大关系
这个是不是可以看作 \(\text{d}\omega\)？
好的问题解决，所以我们新的 \(X(j\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}x(t)e^{-j\omega t}\text{d}t\)
但是 \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) 多乘了一个 \(2\pi\) 要还回去
所以反变换是 \(x(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\text{d}\omega\)
但是其实起作用的只有 \(\omega\) 而虚数单位在函数的记法中只表示类似于虚轴（区分于时域的实轴）的一个东西
性质
由于傅里叶变换需要用到复指数和积分
同时那个复指数也是可以凑的
同时积分限的性质很足
所以可以同时下手出这些性质
1.线性性 \(ax_1(t)+bx_2(t)\leftrightarrow aX_1(j\omega)+bX_2(j\omega)\)
很基础的线性性，来自乘法分配律积分的线性性，不讲
2.共轭性 \(x^*(t)\leftrightarrow X^*(-j\omega)\)
证明:考虑 \(a^*b=(ab^*)^*\)
然后直接扔进正变换的式子
令 \(\text{Re}[s]\) 表示复数 \(s\) 的实部，\(\text{Im}[s]\) 表示虚部
考虑 \(x(t)\) 为实信号的情形，此时 \(x^*(t)=x(t)\) 共轭之后傅里叶变换一致
则有 \(\text{Re}[X(j\omega)]=\text{Re}[X(-j\omega)]\)，\(\text{Im}[X(j\omega)]=-\text{Im}[X(-j\omega)]\)
3.奇偶性
偶信号的频谱是偶函数，奇函数的频谱是奇函数
证明考虑直接证奇偶性
令 \(t=-\tau\) 则有：
得证，同理可证后半部分
结合实信号（性质 \(2\) 推广）可得
实偶信号的频谱为实偶函数，实奇信号的频谱为虚奇函数
4.唯一性
这个性质的话两个频谱做差得 \(0\) 然后接反变换回去做差得 \(0\)
5.互易对称性
\(x(t)\leftrightarrow X(j\omega)\Rightarrow X(jt)\leftrightarrow 2\pi x(-\omega)\)
证明这个从逆变换造比较简单
注意 \(X(j\omega)\) 表示自变量是一个虚数，但是 \(\text{d}\omega\) 是实数，
它的意思仍然是考虑虚轴上的积分
6.时频展缩
\(x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}X(\frac{1}{a}j\omega)\)
考虑正变换
如果是正的没有任何问题
如果是负的，在换元那一步会出积分限互换，和 \(\frac{1}{a}\) 出的负号消掉了
7.时移
\(x(t+t_0)\leftrightarrow e^{j\omega t_0}X(j\omega)\)
证明
8.频移
\(e^{j\omega_0 t}x(t)\leftrightarrow X[j(\omega-\omega_0)]\)
证明
9&10.时域卷积
\(x(t)*h(t)\leftrightarrow X(j\omega)H(j\omega)\)
逆用的话前面要乘 \(\frac{1}{2\pi}\)
先写开正变换的式子再说
然后把卷积的式子代进去
把括号拆开，\(e^{-j\omega t}\) 拆成 \(e^{-j\omega \tau}\) 和 \(e^{-j\omega (t-\tau)}\) 代进去
因为积分限和导数一致，
\(\text{d}t\) 跟 \(\text{d}(t-\tau)\) 没有本质区别，
所以用 \(\text{d}(t-\tau)\) 换 \(\text{d}t\)
就有
令 \(y=t-\tau\) 就可以分离变量
最后傅里叶变换下来就是
所以时域卷积对应频域乘法
相应的，借助傅里叶反变换，也有频域卷积对应时域乘法
11&12.时域/频域微分
\(\frac{\text{d}}{\text{d}t}x(t)\leftrightarrow j\omega X(j\omega)\)
\(tx(t)\leftrightarrow j\frac{\text{d}}{\text{d}\omega}X(j\omega)\)
左边的式子考虑反变换
两边直接对 \(t\) 求导
但是里面和 \(t\) 有关的只有 \(e^{j\omega t}\) 一项，对它求导就可以
那么右面就是
把 \(j\omega\) 提前，有 \(\frac{\text{d}}{\text{d}t}x(t)\leftrightarrow j\omega X(j\omega)\)
频域的话考虑正变换就可以
13.时域积分
时域积分的证明考虑时域卷积 \(\int\text{d}t=*u(t)\)
所以在频域上相当于乘 \(\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)\)
14.帕塞瓦尔定理
证明类似于傅里叶级数的取共轭，不过引入反变换的时候会带系数 \(\frac{1}{2\pi}\)
把共轭取完，交换积分次序有
常见信号的傅里叶变换
依旧是最喜欢的 \(e^{-at}u(t),a>0\)
还有之前没有证的门信号
这样的话我们还可以求出 \(\text{Sa}\) 的傅里叶变换
\(\tau Sa(\frac{\tau}{2}t)\leftrightarrow 2\pi G_{\tau}(j\omega)\Rightarrow Sa(\frac{\tau}{2}t)\leftrightarrow \frac{2\pi}{\tau} G_{\tau}(j\omega)\)
令 \(\omega_c=\frac{\tau}{2}\) 有
\(\text{Sa}(\omega_c t)\leftrightarrow \frac{\pi}{\omega_c} G_{\tau}(j\omega)\)
借助三角等于门卷门，可以求出三角的傅里叶变换
\(\Lambda_{2\tau}\leftrightarrow \frac{1}{\tau}\tau^2\text{Sa}^2(\omega\frac{\tau}{2})=\tau\text{Sa}^2(\omega\frac{\tau}{2})\)
然后是 \(\delta(t)\)
借助取样特性，很容易得 \(\delta(t)\leftrightarrow 1\)
同样借助互易对称性，有 \(1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)\)
根据时域微分，有 \(\delta'(t)\leftrightarrow j\omega\)
如果我们能够用逼近的手段造出一些与阶跃信号有关的东西，那么很快就能解决时域积分问题
\(e^{-at}u(t)\) 的性质就足够好，所以两边都上 \(e^{-at}u(t)\)
前面变成 \(\frac{1}{j\omega+a}\) 后面变成 \(-\frac{1}{-j\omega +a},a\to 0\) 有
考虑 \(\text{sgn}(t)=2u(t)-1\) 有
加上时域卷积特性即可证明时域积分特性
最后考虑正余弦的傅里叶变换
利用频移性质显然可以得出
如果是正弦的话就要除一个 \(j\)，注意如果是用时域积分的话时域部分多除了一个 \(\omega_0\) 需要乘回去
然后是一些调谐性质
这个考虑频域卷积，余弦变成两边延时，两个信号做和通开分
记得频域卷积的 \(\frac{1}{2\pi}\)
这个也是一样的
以及注意到 \(e^{-at}\) 本质上是拉普拉斯变换里的衰减因子
所以长得比较像拉普拉斯变换的性质
调谐性质正儿八经算傅里叶变换比较难算
可以考虑展开成傅里叶级数
然后 \(k\omega_0\) 的位置叠加一个 \(X_k\cdot 2\pi\delta(\omega-k\omega_0)\)
从这里面可以看出周期对离散
部分分式展开法求反变换
本质上是把一个真分式响应分解成若干个 \(\frac{a_i}{j\omega+b_i}\) 的形式
考虑所有根的代数重数为 \(1\) 的情况
这个时候令 \(j\omega\) 等于某根，则右边会留下一个 \(a_i\) 乘上剩下东西的形式
可以直接算出数来
如果代数重数大于 \(1\) 的话就需要通过求导消掉一部分
抽样、传输、滤波与恢复
无失真传输还是相当简单的
要求 \(h(t)=k\delta(t-t_0)\)
于是 \(H(j\omega)=ke^{-j\omega t_0}\)
则要求任意频率下 \(|H(j\omega)|=k\) 是个常数
同时相角是一条过原点直线
注意无失真传输不是预测，所以斜率肯定是负的
否则就是非因果的了
抽样的本质是周期冲激串
考虑其傅里叶变换
可以先对其展开傅里叶级数再在对应点上直接写出傅里叶变换
那肯定在这里面有某点符合采样性质，不然你算他干嘛？
所以 \(X_k=\frac{1}{T}e^{-jk\omega_0 kT}=\frac{1}{T}\)
所以 \(x(t)=\frac{1}{T}\sum\limits^{+\infty}_{k=-\infty}e^{jk\omega_0t}\)
接下来就是写成傅里叶变换的形式，
每个其实都是 \(1\) 的频移，
所以自然出一个 \(\frac{2\pi}{T}\delta(\omega-\omega_0)=\omega_0\delta(\omega-\omega_0)\)
即 \(X(j\omega)=\sum\limits^{+\infty}_{k=-\infty}\omega_0\delta(\omega-k\omega_0)\)
这个就是抽样在频域上的表现
可以发现这个就是频域上周期延拓，时域上离散，所以离散对周期
周期自然是 \(\omega_0\)
理想滤波器要尽量无损滤波
所以一个好的滤波器应该是在无失真传输的基础上取一个门
所以高通就是减去一个门，低通就是加上一个门
但是相位角不应该改变，因为改变相位角就相当于改变 \(e^{-j\omega t_0}\)
这个错了就会导致时域上的混乱，就会导致相位上的失真
恢复的本质是滤波
为什么恢复的本质是滤波？
之前提到离散对周期，周期对离散
逆否自然是连续对非周期，非周期对连续
所以想要从抽样之后的周期频谱中恢复原信号
自然要取频谱内的一个周期，这个过程本质上就是滤波
一般而言取一个低通
考虑原信号频谱自身有一个 \(\omega_m\)，抽样的频率为 \(\omega_s\)，滤波的频率为 \(\omega_c\)
为了避免频谱在周期延拓之后出现混叠，必须要有 \(\omega_s\geq 2\omega_m\)
因为混叠了之后就会导致幅度错误，就会导致幅度失真
这样的话，主周期的最大值是 \(\omega_m\)，下一周期的起点是 \(\omega_s-\omega_m\)
如果你想把两个周期分开，自然要有 \(\omega_m\leq\omega_c\leq \omega_s-\omega_m\)
推广：取一个低通是因为工作频率低，
如果有较高的工作频率的话，就需要取一个带通，
取在工作频率附近即可，其实 \(\omega_m\) 其实相当于类似带宽的东西
注意恢复的时候需要多乘上一个 \(T\) 回去，
这个是由抽样的时候 \(\omega_0\) 贡献的系数，但是分子上的 \(2\pi\) 被反变换的系数消掉了
离散信号的傅里叶变换与傅里叶级数
推导
离散就是乘周期冲激串，代进去交换求和顺序，利用采样性质有
注意到 \(\sum\limits^{+\infty}_{k=-\infty}\delta(\omega-k\omega_0)\) 实际上相当于把 \([k\omega_0,k+1\omega_0)\) 的部分叠加到了 \([\omega,\omega+\omega_0)\)
所以任取积分区间 \([\omega,\omega_0)\) 对 \(X(j\Omega)\) 反变换即可还原成原有的 \(X(j\omega)\)
反变换完了之后取 \(t=n\) 即可得到 \(x(n)\)
综上，有反变换式
常见变换对
依旧 \(a^nu(n)\)
依旧 \(\delta(n)\leftrightarrow 1\)
依旧门信号 \(G(n)=\begin{cases}1,& |n|\leq N\\0,&|n|> N\end{cases}\)
最后一约分得到 \(\frac{\sin[(N+\frac{1}{2})\Omega]}{\sin(\frac{1}{2}\Omega)}\)
周期矩形脉冲的傅里叶反变换
这个当然是可以调占空比的
\(x(n)=1\) 的傅里叶变换要周期延拓，所以傅里叶变换会变成周期冲激串
对应的 \(u(n)\) 也会出周期冲激串
傅里叶变换的性质
基本上和连续的差不多
但是由于时域离散频域还有可能是连续的，所以没有互易对称
同时因为时域离散所以没有时域的微积分性质
同时也因为时域离散所以没有压缩的性质，也就是 \(a<1\)
剩下的和频域差不多，差分的话用时移应付一下就可以
离散周期信号的傅里叶级数
依旧把积分改成求和
频谱离散，周期为 \(N\)
这个公式当然可以用，但是更常用的就是欧拉公式直接展开得到 \(\frac{X_k}{N}\)
这里面的性质好像感觉和傅里叶变换的性质都差不多
不管是级数还是变换，离散还是连续，都可以用 \(14\) 条性质
以及看似有系数有函数，实则都可以看成是傅里叶级数的系数
复频域和 Z 域
连续信号的拉普拉斯变换
如果一个信号 \(x(t)\) 不太能满足狄利克雷条件，但是只是不能满足有界性的限制
我们就可以通过乘上一个衰减因子 \(e^{-\sigma t}\) 之后对 \(e^{-\sigma t}x(t)\) 傅里叶变换
继续研究它在频域上的性质
继续写开傅里叶变换的式子，有
上述即为拉普拉斯变换
为什么是复频域不是频域？是因为频域只用了一个虚轴
这个和只用实轴本质上没有区别
但是 \(e^{-st}\) 中 \(s\) 真是复数，所以研究的对象推广到整个复平面
注意由于存在多个 \(s\) 满足要求，
我们规定使拉普拉斯变换存在的平面区域为拉普拉斯变换的收敛域
一个双边拉普拉斯变换的s域形式在不规定收敛域的情况下可能会有多个时域形式
（如果是左边收敛的话整个要取负号，自变量也要取符号）
所以使用拉普拉斯变换时一定要注明收敛域
常用的拉普拉斯变换对
这里不加证明地给出双边拉普拉斯变换的变换对
因为证明本质上就是 \(j\omega\to s\) 再算一遍
\(e^{at}\leftrightarrow \frac{1}{s-a},\text{Re}[s]>a\)
\(e^{s_0t}\leftrightarrow \frac{1}{s-a},\text{Re}[s]>\text{Re}[s_0]\)
\(e^{at}\cos \omega_0t\leftrightarrow \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega_0^2},\text{Re}[s]>a\)
\(e^{at}\sin \omega_0t\leftrightarrow \frac{\omega_0}{(s-a)^2+\omega_0^2},\text{Re}[s]>a\)
\(u(t)\leftrightarrow\frac{1}{s},\delta(t)\leftrightarrow 1\)
右边信号右边收敛
左边信号左边收敛
双边信号，收敛域取交
当然没有就算
还有一部分如 \(x(t)=t^{t}\) 这个肯定没有收敛域
当然有限长的信号，全平面收敛
如果拉普拉斯变换的收敛域包含虚轴，拉普拉斯变换就是傅里叶变换换个字母
如果收敛域以虚轴为边界，通常傅里叶变换会多一堆带有冲激信号的东西，
这当然是因为有些东西不收敛导致的
如果收敛域和虚轴没有关系，肯定没有傅里叶变换
单边拉普拉斯变换
考虑到“左边信号”这么一个带来收敛域冲突的东西
实际情况下显然时间不会倒流，所以我们把这玩意踢掉
也就是直接令积分下限为 \(0^-\) 即得单边拉普拉斯变换
那个 \(0^-\) 实际上是为了照顾零输入响应的
放一个反变换的式子
这个其实本质上就是傅里叶反变换，在 \(\sigma\) 不变的情况下只有虚部在变
衰减因子也都会消掉，只有 \(\text{d}\omega\) 变成了 \(\text{d}s\) 多乘了一个 \(j\) 需要除掉
常用的变换对依旧类似
\(\delta(t)=1\)
\(e^{at}\leftrightarrow \frac{1}{s-a},\text{Re}[s]>a\)
\(e^{s_0t}\leftrightarrow \frac{1}{s-a},\text{Re}[s]>\text{Re}[s_0]\)
\(e^{at}\cos \omega_0t\leftrightarrow \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega_0^2},\text{Re}[s]>a\)
\(e^{at}\sin \omega_0t\leftrightarrow \frac{\omega_0}{(s-a)^2+\omega_0^2},\text{Re}[s]>a\)
\(\cos \omega_0t\leftrightarrow \frac{s}{s^2+\omega_0^2},\text{Re}[s]>0\)
\(\sin \omega_0t\leftrightarrow \frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2},\text{Re}[s]>0\)
单边拉普拉斯变换的性质
线性性不用说
时间线性变换影响
当然这个时间只能延时，所以其实 \(a>0\)
因为只有单边，所以上下界不能换，所以负号必须留下来
时频同时移动的影响
\(x(t-t_0)e^{s_0t}u(t-t_0)\leftrightarrow e^{st_0}X(s-s_0)\)
时域卷积不变
频域微分有 \(tx(t)=-\frac{\text{d}}{\text{d}s}X(s)\)
这个是正变换的符号乘到左边去了
但是时域微分的的话就会出一个 \(x'(t)\leftrightarrow sX(s)-\red{x(0^-)}\)
后面那一项是拿来求零输入响应的
单边拉普拉斯的反变换
主要是两个，部分分式展开和逆用性质
如果部分分式全都是实根非常棒
否则就需要凑一个完全平方式，凑一个复数根
系统的复频域分析
微分方程就把两边的拉普拉斯变换一起写出来
然后自然就会有右面一个 \(AY(s)=BX(s)+C\)
那么 \(\frac{B}{A}\) 自然就是系统函数，右面 \(\frac{C}{A}\) 自然零状态响应
然后你想要输进来啥 \(X(s)\) 当然就有啥了
电路系统里的，如果方便就全画串联形式的
电压源是 \(u(t)\)，电流源不用管
锁相环的那个图跟负反馈长得真是一模一样
系统函数与定性分析
系统函数的求法
双边拉普拉斯变换直接出零状态响应和输入的比值
根据这个比值可以出微分方程
当然也可以出信号流图
信号流图的梅森公式可以直接告诉我们系统函数的值
\(H(s)=\frac{1}{\Delta}\sum T_k\Delta_k\)
\(\Delta\) 的计算公式是 \(\sum\limits_{S} (-1)^{|S|}\prod\limits_{i\in S} L_i\)
\(T\) 表示前向通路 \(k\) 的增益， \(L_i\) 表示回路 \(i\) 正常计算乘积的增益，\(|S|\) 表示互不相交的回路 \(i\) 的集合
考虑证明这个东西，首先假设每两个点之间至多有一条前向边/后向边
这个假设的正确性显然，同类型的边是可以合并的
前向边的意义是构成开环增益，即做分子，后向边的意义是构成闭环增益，即做分母
考虑后向边的回路的串并联，一条后向边组成的环路 \(L_i\)，其在分母的贡献显然是 \((1-L_i)\)
串联显然可以被分解为系统的串联，所以其贡献要相乘，那么这样看分母 \(\Delta\) 的意义是显然的
并联的证明要经过计算，算一个极其简单的框图就可以
最后分析出来发现分母的形式是 \(1-L_1-L_2\)，所以并联的两个回路之间是没有影响的
综上，分母的部分得证
考虑分子，分子的话考虑把一部分系统等效成前向边，
这样的话两个前向边显然可以用乘法分配律分开
所以每条前向通路都可以被乘法分配律分出来写成求和的形式，
而这条前向通路必然包含若干回路，
且显然只有这些回路可以做分母，那么没有做贡献的回路就需要乘回来
没有做贡献的回路是完全没有包含在内的回路，
显然就是消除这条前向通路后，所剩下的回路
而且显然，这些没有做贡献的回路，不可能与做贡献的回路是并联关系
所以只能是串联关系，前面证明过串联的回路之间的贡献是相乘，所以在分子上乘上这些回路消掉就可以
画信号流图可以直接实现，可以级联和并联实现
直接实现非常简单，分子无脑向前画，分母无脑向后画
串联的话拆成乘积，并联的话拆成求和
系统的极零点分析
极点即分母为 \(0\) 的点，分子为 \(0\) 的点为零点
稳定系统要求极点在左半开平面且收敛域包含虚轴
都是必须要满足绝对可积，并且要是因果系统
极零点对应的幅频特性可以用向量的乘除法表示
离散信号的 Z 变换
其实是把 \(e^{-\sigma}\to r\Rightarrow z=re^{-j\Omega}=e^{-s}\) 导致整个平面像是卷起来了一样
但是 Z 变换和 Laplace 变换的联系推导还是要从抽样说起，结论是 \(z=e^{sT_s}\)
这也导致反变换的积分是曲线积分
剩下的还是那么些
但是 Z 变换的形式非常像生成函数
所以如果把 Z 变换看成无穷幂级数的话，就可以用多项式的理论去推性质
线性不用说，指数加权就是前面乘一项后面就要除一项很好证
Z域微分的性质看正变换两边微分，给多项式微分之后次数降了 \(1\) 要补上
时移的性质就纯是多项式次数的变换，
右移就是次数上升一个 \(1\) 然后补上常数项，左移同理，要去掉常数项然后次数下降一个 \(1\)
但是正变换式里形如 \(x^n\) 的项是 \(z^{-n}\) 所以看起来像是反过来了
根据多项式的操作会有：
初值定理
\(x(0)=\lim\limits_{z\to \infty}X(z)\)
这个的话令 \(z\to \infty\Rightarrow z^{-k}\to 0\) 即只有常数项
终值定理
\(x(\infty)=\lim\limits_{z\to 1}(Z-1)X(z)\)
这个略微复杂一点，要求的东西比较多一点，
首先如果 \(x(\infty)\) 存在，那么前有限项都可以不用管，
即可认为 \(\forall n,x(n)=x(\infty)\) (来自高数的神秘结论)
然后就可以求封闭形式了，因为这样等效就相当于是 \(z^{-1}\) 的等比数列，就会有
左边实际上是 \(\frac{z}{z-1}x(\infty)\)，这个时候把分母乘过去暂时没有影响
则有
如果想求出 \(x(\infty)\) 显然 \(z=1\) 但是考虑到此时分母就是 \(0\) 不能这么干
所以我们只能求极限意义下的结果，即令 \(z\to 1\) 就可以得到终值定理
同时我们还可以得知终值定理的前提，即因果序列 \(x(n)\) 满足 \(x(\infty)\) 存在，
那么肯定是因果且稳定的了，也就是收敛域在圆外，极点在单位圆以内
然后 \(x(\infty)=\lim\limits_{z\to 1}(z-1)X(z)\) 存在，
那么 \(z=1\) 处的极点就至多是一阶极点
反变换
幂级数展开就完完全全是生成函数的形式
第二个依旧是部分分式展开
第三个就是变换对
剩下的基本上参考复频域就可以
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