模电乱写
器件
二极管
理想模型和恒压降模型非常简单。
交流小信号模型就是假设 \(u_i\) 在一个非常小的范围震荡。
然后因为 \(i(u)\) 是连续的，你在看 \(\lim \limits_{\Delta u\to 0} i(u+\Delta u)=i(u),\) 所以换来换去都是一个点。
于是问题解决了，限制是幅值很小(\(\Delta u\to 0\))，由于物理条件限制频率不能过大。
这个其实就是局部线性化，用 \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}i}\) 近似成电阻，这个电阻显然是动态的
但是如果给到的是直流信号你得到的肯定是静态的，算的也肯定是 \(\frac{u}{i}\)
以及 \(i(u)=I_s(e^{\frac{u}{u_T}}-1),u_T\) 是一个只和温度 \(T\) 相关的量。
如果涉及到精密调节的问题，
一般恒压降模型是没有用的，都需要用到 PN 结方程
PN结
一边是空穴多一边是电子多，两个东西放一块会扩散。
导致边缘部分空穴被电子填满不导电了。
需要足够高的电压打穿这一层才能继续导电。
含二极管电路分析，先断开二极管，分析正负电压，
如果大于压降就是通，通了以后只过电流。
注意，如果某两点的电位差是不依赖任何变量条件即可分析的，（换句话说是个定值）
那么必然从二极管正向导通/反向击穿电压入手的
稳压二极管主要考虑反偏，过了截止有一段跟恒压降很接近的，
这一段 \(u\to u_0\) 常数，所以对的电压不是 \(0\) 就是 \(u_0\).
含稳压二极管的电路分析同上
温度升高，电子运动速度加快
宏观表现是导通/死区电压降低 (\(U_T\) 降低）
对应的反向饱和电流也会增大
三极管
发射极正偏集电结反偏。
\(U_{BE}\) 要正偏就满足一个恒压降
根据硅管/锗管的特性看哪两个极之间电压差能对上数
剩下的那一个就是集电极
然后第二大的肯定是基极，不然不满足工作条件
最后就可以根据条件看出来是 NPN 还是 PNP
然后就是 \(\beta=\frac{I_C}{I_B}\)
然后就是工作点，放大如果进了饱和区就是饱和失真
否则就是进截止区，就是截止失真
具体的，对应反相同相看输入怎么变的时候削平
顶部就是饱和，底部就是截止
这两种失真都是需要移动静态工作点解决。
解决方式一般是拉 \(I_{BQ}\)，如果是分压式的共射就可以拉 \(U_B\)
复合管的接法是输出和输入一致，然后输入接基极
放大倍数参考多级放大
MOSFET
场效应管分类比较多
首先有结型、增强型和耗尽型
这个不一样的是，它的伏安特性曲线是二次的
如果要认图像的话，结型正儿八经的第二象限不多不少，
增强型就是在第一象限，耗尽型就是两边都有
上面说的是N型，P型的话需要整个图转一下，转成开口向上的二次型
因为这个公式是统一的，我也懒得分什么增强型耗尽型
如果真要区分的话看固定指标 \(U\) 的正负
跟三极管很像，具体对应是s-e,g-b,d-c
s是源极，g是栅极，d是漏极
电路
三极管放大电路
图像
先看直流再看交流。
以基本共射为例。输出 \(u_{CE}\) 不变，考察输入电流和电压的关系\(i_B(u_{BE})\)。
\(B\)和\(E\)之间的部分本质上是个二极管。所以这一部分就是非常类似于二极管一样的东西。
考察 \(i_C(u_{CE})\) 的话其实差不多类似，但是会出现削弱，所以电流不是无限涨下去。
组态判断
输入两个端口输出两个端口三极管三个级。
哪一极接了两个端口就是共哪极的组态。
指标&工作状态分析
\(\beta=\frac{I_C}{I_B},\alpha=\frac{I_C}{I_E}\)
两个指标一个共射一个共基，都是集电结输出。典型的输出比输入。
\(\beta=\frac{\alpha}{1-\alpha},\alpha\to 1\Rightarrow \beta\to \infty\)
\(I_B 10\mu A\) 别的都可以很大，限于物理条件 \(\beta\space 10^2\) 差不多。
输入电阻 \(R_i=\frac{U_i}{I_i},R_o=\frac{U_o}{I_o}\)
放大指标 \(A_u=\frac{U_o}{U_i}\)
最大不失真电压 \(U_{om}\) 对应功率 \(P_{om}\) 效率 \(\eta=\frac{P_{om}}{P_v}\)
静态工作点 \(Q\) 指标 \(I_{BQ},U_{BEQ},I_{CQ},U_{CEQ}\)
先 \(Q\) 再 \(R_i,R_o,A_u\)
先写直流工作点再写交流。
直流的等效是电容断开，交流的等效是电源电容变导线。
还有动态分析通断路
以下面这个为例：
直流等效电路
先算基极比较好算，后面直接有集电极。
\(I_{BQ}=\frac{V_{CC}-U_{BEQ}}{R_B},U_{BEQ}\) 是常量，因为 \(BE\) 之间是二极管。
\(I_{CQ}=\beta I_{BQ}\)
\(U_{CEQ}=V_{CC}-R_C\cdot I_{CQ}\)
这就算完了，如果有串并联没有关系，等效一下就可以。
还有图解，主要是画 \(I_{CQ}(U_{CEQ})\) 的图像，给定 \(I_{BQ}\) 对线找交点就可以。
这里给下 \(I_{CQ}(U_{CEQ})\) 的式子。
这个式子仅限图解使用，因为静态工作点的分析不需要用这个玩意
先算再算再算的做法是要比画负载线快的
有点复杂不展开了。
交流等效电路
这个感觉没有一条非常合理的支路能拿来分析的，需要对三极管做个等效。
考虑输入输出特性、连接方式和 \(\beta\) 指标。
输入输出特性是在造电阻，\(\beta\) 指标是受控源。
所以一个最简单的模型
剩下就是算，不过从输入特性下手没有必要了，
这玩意相当于一个定义式，真正决定它是多少的是物理参数。
还是交流小信号，依旧等效单点准备开算。
能控制的自变量只有输入，不要试图从输出下手。
所以我们算 \(r_{be}\) 有这个就可以出别的。
\(r_{be}=r_{bb'}+r_{b'e'}\) 前面那一项是个定值不用管，后面一项就是二极管等效电阻。
后面那一项考虑导数的意义，\(I-U\) 图像导数表示电阻的倒数。
于是$$\frac{1}{r_{b'e'}}=\frac{\text{d}i_E}{\text{d}u_{BE}}=\frac{I_se^{\frac{u_{BE}}{u_T}}}{U_T}$$
注意到
代回去有
依旧 \(\lim \limits_{\Delta u\to 0} i(u+\Delta u)=i(u)\Rightarrow i_E=I_{EQ}\)，得
没完。
要算 \(r_{BE}\) 还真不能到这停，要出 \(u_{BE}\) 和 \(i_{B}\) 的关系。
两边求导才算完。
到这其实可以看出一点和静态工作点的关系了。
剩下的右边算个 \(R_o\),电流的话 \(I_{CQ}=\beta I_{BQ}\)
这样的话可以直接出 \(U_o\) 算 \(A_u\) 轻而易举。
注意符号是因为电流由受控源产生过 \(R_{L'}\) 时要反向
基本共集和共基是一样的
算直流画交流等效然后就完了
但是有的直流工作点弄不出来，就比方说缺个 \(R_b,R_c\) 啥的
这个时候大概率不用管直流工作点
分压偏置也是一样的，甚至分压偏置相对好分析一些，比较套路
MOSFET 放大电路
其实单管放大电路比较好分析，主要是交流等效电路的情况
但是好像交流等效电路结构也很简单
这个交流通路简单至极人畜无害
不过直流工作点设计可就倒大霉了
比较稳定的话直接上一个分压式自偏压就可以
分析方法是需要把 \(U_{GS}\) 和 \(I_{DS}\) 联立去算直流工作点
这个过程需要解一个二次方程
共源极放大电路
直流工作点需要分析一个二次方程，很麻烦
所以一般带 MOSFET 的电路会把工作点直接给出来
这个经典的分压偏置共源极放大电路，直接画交流等效
很简单
所以只需要有一个交流等效电路图就可以做
共漏极
共漏极的比较特殊一点，就是g和s分别接在了输入和输出
这会导致电路分析稍微复杂一些
多级放大电路与复合管
电压增益显然取乘积
然后输入输出电阻一般是这样
一定要注意，算 \(A_u\) 的时候要考虑上下级联的负载！
通频带的话如果不同显然取最窄，如果相同，有
两级复合管的话主要是看第一级管是什么样子的
指标特性
| 指标 | 共集 | 共基 | 共射 |
|---|---|---|---|
从差分放大电路的角度来看，
发射极是同相输入，集电极是输出，基极是反相输入
当然图上说明了频响，放大倍数还有阻抗性质
三个里面肯定要放弃一个
共集放弃增益，共基放弃阻抗性质，共射放弃频响
当然你问我怎么记我肯定不知道
频率响应
这个的话好像肥肠煎蛋
特征频率\(f_{T}=\beta f_{\beta}\)表示放大的临界值，
再高的频率下三极管工作不了
然后是综合版的
其实可以凑出来那个分母，然后考虑一下相角的符号就行
多级放大电路的截止频率如下，通频带如果不一致取交
频率响应的话 共基最好，共集次之，共射最差
功率放大电路
先看分类：甲类（全周期工作）乙类（半周期工作）丙类（小于半个周期）
甲类功放要求信号不失真，也就是一个纯粹的基本放大电路
输出的话直接看到\(P_o=\int_{T}ui\space \text{d}t\)
这个的话大概率会考一些结论
指标
考察电路的指标如下：
最大输出功率 \(P_{omax}=\frac{U_{omax}}{\sqrt{2}}\frac{I_{omax}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}U_{omax}I_{omax}\)
直流电源输出功率 \(P_V=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_{CC}i_C\space \textrm{d}t\)
管耗 \(P_T=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u_{CE}i_C\space \textrm{d}t\)
效率 \(\eta=\frac{P_{omax}}{P_V}=\frac{P_{omax}}{P_{omax}+P_T}\)
考察选管的指标如下：
集电结最大电流 \(I_{Cmax}>I_{omax}=\frac{V_{CC}-U_{CES}}{R_L}\)
尽量留有余量，忽略 \(U_{CES}\)
最大反向电压 \(U_{(BR)CEO}>2V_{CC}-U_{CES}\)
最大耗散功率 \(P_{CM}\) 为了保证任意时刻不烧管，耗散能力必须要满足最差情况下耗散的情况
充分激励
此时 \(U_{omax}=V_{CC}\)
不充分激励
此时原来的 \(U_{omax}=\xi V_{CC}\)
然后 \(P_{omax}\) 是 \(U_{omax}\) 的平方关系，\(P_V\) 则是线性关系
需要把 \(\xi\) 按照次数乘上去
做比可知 \(\eta\) 也要乘上一个 \(\xi\)
然后我们还能算一个耗散能力
取 \(\xi=\frac{2}{\pi}\) 时得 \(P_{Tmax}\)，此时
改进版
接两个二极管消除交越失真
接完了以后就是甲乙类功放
接两个电阻然后三极管出去是 \(U_{BE}\) 倍增电路设置静态工作点
当然输入也可以过一个基本放大电路
电流源
电流源提供偏置电流（静态工作点）或者是有源负载
长相的话是这样
基本镜像电流源
这个是只有 \(R\) 的部分
那发射结电位固定，\(U_{BE}\) 一致，\(U_B\) 一样电流也就一样
所以静态工作点是一样的。
如果愿意的话，可以直接一手 \(V_{CC}>>U_{BE},\beta>>2\)
就会有一个比较好看的形式
精密镜像电流源
在这个里面只需要用一个三极管并一下就行
主要分析方式还是选那一条带 \(R\) 的支路
依旧代换
化个简
可以看出调节变得更加精细了
比例电流源
就是一开始那个电流源
考虑两个管子的对称性，由于基极相连 \(U_{B1}=U_{B2}\)
所以 \(U_{BE1}+I_{E1}R_1=U_{BE2}I_{E2}R_2\)
然后移项
对于后一项来说，如果你直接考虑 \(U_{BE1}=U_{BE2}\) 消掉后面一项那么结论已经推完了
剩下的话就是等式两边同乘 \(\frac{\beta}{1+\beta}\Rightarrow I_o=I_{C2}=\frac{R_1}{R_2}I_{C1}\)
然后把左边当二极管直接算出来 \(I_{C1}=\frac{V_{CC}-U_{BE}}{R+R_1}\Rightarrow I=\frac{R1}{R2}\frac{V_{CC}-U_{BE}}{R+R_1}\)
但是 \(U_{BE1}=U_{BE2}\) 还是太脆弱了
考虑二极管原始模型，我们要整出一个对数
考虑到 \(I_E>>I_s,\) 忽略那个常数 \(1\)，做差有
实际上考虑到 \(U_T\) 和 \(\ln C\) 都不是啥大数，直接忽略不计即可
威尔逊电流源
其实三极管是当二级管用的，因为b-c放大特性没有用到，以及c-e之间的放大倍数并不大可以忽略
所以实际上是降了两个 \(U_{BE}\)，不知道何意味
应用
提供工作点和有源负载
有源负载的话考虑微电流源
微电流源是没有 \(R_1\) 的
本质上是比例电流源 \(R_1\to 0\) 的结果，
这个时候要考虑\(U_{BE1}-U_{BE2}=U_T\ln \frac{I_{E1}}{I_{E2}}\)
所以这个时候就有
这个方程的求解一般是会涉及到图解法所以一般不直接考察这个式子
一般会给定 \(I_R,I_O\) 然后让你求一个 \(R_2\) 的选型
双入双出差分放大电路
这个时候就不要求静态工作点了
因为“长尾”需要接电源，
这个时候这个电源调节电流直接给到固定的 \(I_{EQ}\)
对应的一连串的静态工作点随之确定
然后接下来重头戏就是分析交流信号
差模信号分析
这一部分相当于公共部分没有电流，
这一部分本质上是拆一半看
依旧非常经典
呃呃，由于差模信号 \(i_1=-i_2\)，实际上 \(R_E\) 电流为0，直接就当它没有就行
一定一定要注意差模短路！
所以实际上 \(R_E\) 接的很大不会对放大性能产生任何影响，因为根本不算它
然后输入电阻依旧经典 \(R_{id}=R_b+r_{be}\) 不过只算了一半要乘 \(2\)
输出电阻则依旧 \(R_{od}=2R_c\)
共模输入
共模输入的话其实是相当于电压源上没有电流
那还说啥了电压源直接接地没有工作点直接变零嘻嘻
这个时候真的相当于对称了，依旧拆半分析
还是那个图，但是由于共模信号在一起叠加，
会导致电流实际上算了两倍，电压降随之放大两倍
切半的电压降不会改变，而电流会降
会导致 \(R_e\) 在分析的时候会等效于原来的 \(2\) 倍
然后因为共模 \(R_L\) 两边电位一致压降为 \(0\) 等效断路
输入输出电阻都乘 \(2\)
但是两部分要拼起来，要做差，
而因为共模完全相等，电路也完全对称
所以真正的 \(A_{uc}=0\)
如果一边完全没有 \(R_c\) 怎么办？
很简单，考虑分母上那个东西，它远远大于分子，所以这一边也是有 \(A_uc\to 0\)
共模抑制比 \(K_{CMR}\)
\(K_{CMR}=|\frac{A_{ud}}{A_{uc}}|\Rightarrow A_{uc}\to 0,K_{CMR} \to \infty\)
设计背景
为什么会是这样的呢？
一切是为了抑制“零点漂移”
单管放大电路的工作点会因为工作条件影响，工作点会有温度变化
工作点变化就会有不稳定的输出
那么为了稳定我就需要消除工作点的变化
那么如何消除呢？
很简单，对于自然变化的信号大家都是一样的变化，也就是共模
把这一部分变化抑制掉就好了
人工加的信号肯定两边加的不一样，这一部分放大就行了
所以有了差模放大和共模抑制
差模放大非常简单，一个管子直接放大就可以
怎么抑制共模？要相抵消
于是我把两个一模一样的单管共射放大电路对着一拼
很好，一样的共模信号因为方向相反自行消除，差模放大继续叠加
完美，而且零点漂移也是一模一样的漂移，正好顺手也消了
简直是太完美了，很少能有这样一举三得的东西了
双入单出差分放大电路
差模
这边差模只分析带负载的一边，但是输入的话要算总账乘 \(2\)
所以放大系数要在原来的双入双出上乘 \(\frac{1}{2}\)
输入输出电阻的话双入乘 \(2\) 单出不乘
共模
依旧只分析带负载的一边
然后依旧输入输出电阻双入乘 \(2\) 单出不乘
共模抑制比 \(K_{CMR}\)
\(K_{CMR}=|\frac{A_{ud}}{A_{uc}}|\Rightarrow K_{CMR}=\frac{\beta R_e}{r_{be}}\)
单出的话完全靠 \(R_e\) 撑着，
所以如果是单出的话就需要上电流源做有源负载
分析的话，恒流源的电阻是正无穷大，所以抑制共模很有用
但是如果是差模的话就是对差模放大电路没有任何影响
模块
我们把上面几个电路超级拼装就可以拼出来一个模块——理想运放
理想运放条件
我们首先要知道我们的超级拼装有什么特性
输入首先会过一个差放，再过一个基本放大电路，再过一个功放
三个 \(A_u\) 一乘，就会有 \(A_u\to \infty\)
但是供电的 \(V_{CC}\) 都是同一个，所以很容易顶满上限
这就会导致工作区间非常窄，
也就是呈现出一个 \(V_{CC}\cdot sgn(i)\) 的伏安特性曲线
所以如果要使理想运放正常工作，必须要使用负反馈
接下来是电路分析里的一些重要条件
虚断：接入的阻抗无穷大，等价于两个脚上的电流为 \(0\)
虚短：两个脚之间电位相同，且电位均为 \(0\)，
虚短是负反馈特有的，因为只有在线性区工作才一定会有 \(u_-=u_+\)
如果另一脚直接接地的话就会构成虚地
由于工作区间非常窄，所以理想运放实际上只是提供这些便利条件
如果真的让运放接进去了分分钟让你上天
所以看似分析理想运放，实际上基本上就是在和反馈作斗争，
也就是因为反馈元件的各项特性使理想运放有各种各样非常好玩的特性
反馈
因为开环增益 \(A\to \infty\) 不能直接出去
所以你要削弱这个开环增益，乘以一个系数接回去才能用
所以有了反馈 \(F\)
底下那个 \(|1+AF|\) 相当重要，因为这个相当于是唯一的参数
你通频带会展宽这么多，对应的放大倍率会缩小这么多，
对应的增益带宽积看似没有变，但是放大倍率随放大器的变化率也会缩小这么多，
也就是说你会有一个非常稳定而可控的增益
因为你的 \(A_u=\frac{A}{1+AF},A\to \infty,A_u\to \frac{1}{F}\)
这是一个 你可控的定值
所以要引入反馈
不足就是其实 \(A,F\) 是相量，如果不幸 \(AF=-1\) 自激了就寄了
判断条件
有无反馈的话非常简单，就是看有没有输入和输出都有的部分
判断正负的话就需要瞬时极性法，通过判断最后输出端和输入端的相位关系来判定正负反馈
交流直流的反馈则需要看交流通路和直流通路
最后就是核心的组态判别
电压/电流：看在输出部分与反馈的并联/串联关系
如果反馈和输出是并联，就是电压，
因为只有并联才能采到两个电位点出电压降回传
否则反馈和输出是串联，你反馈的东西肯定是电流，
因为只有电流，才能通过串联的形式影响输出
串联/并联：看输入部分与反馈的串联/并联关系
这个没啥好解释的，但是看那个结构框图其实不是很好直接看出来串并联关系
所以接下来给一个常用的办法
一般而言，串联就是接到不同输入端口，并联就是接到同一输入端
以及如果你试图理解这个框图的话，串联是先过运放再过反馈的
但是并联的话非常显然能看出并联关系
所以其实可以先看并联，如果不是就是串联
反馈的效果
直流负反馈影响直流工作点，交流负反馈改变交流信号效果
所以一般下面说的都是交流
负反馈削弱输出信号，正反馈增强输出信号
所以一般正反馈是拿来做电源/信号发生器
以下是负反馈专版
提高放大倍数稳定性，可以证明 \(\frac{\textrm{d}A_f}{A_f}=\frac{1}{1+AF}\frac{\textrm{d}A}{A}\)
相对变化率降低 \(\frac{1}{1+AF}\)，稳定性就是上升 \(1+AF\)
注意你需要稳定什么样的放大系数就引进什么样的反馈
比方说稳定电压就要电压负反馈，稳定电流就要电流负反馈
当然这边还跟输出电阻沾边，比方说电压是和输出并联就越并越小，
所以电压负反馈减小输出电阻
改变输入/输出电阻
如果你是通过串联方式影响电阻，电阻会放大 \(1+AF\) 倍
如果你是通过并联方式影响电阻，电阻会缩小 \(\frac{1}{1+AF}\)
改变的电阻既可以是输入电阻也可以是输出电阻，改变的情况看反馈对输入输出电阻分别是什么组态，但是系数是通用的
非常好理解，因为串联越串越大，并联越并越小，只需要记一个系数配合上述组态的说明就可以
展宽通频带，展宽成原来的 \(\frac{1}{1+AF}\)
上限截止频率得到放大，显然这个系数猜一下就知道是 \(1+AF\)
下限截止频率减小，猜一下就知道这个系数显然是 \(\frac{1}{1+AF}\)
更容易产生自激振荡
\(A,F\) 如果是实数那太棒了，不幸的是 \(A,F\) 是复数
所以如果非常不幸 \(AF=-1\) 那寄了，
\(\frac{1}{1+AF}\to \infty\) 就直接飞起来了
所以不能让 \(AF=-1\) 也就是相角不能是 \(180\) 度
所以引入了相位补偿，要么把第一极点前调，要么把第二极点后调
这个是电容擅长的事情，所以问题解决了
当然也可以阻容接地
总之留出 \(45\) 度的相位裕度就自激不了
利用反馈搭建模块
根据理想运放条件和反馈公式，当 \(A_0\to \infty\) 时
因为反馈 \(F\) 是一个完全可控的定值
所以其实运放的输出什么样完全取决于反馈的特性
所以可以通过分析反馈来看出这个理想运放模块实际上做了些什么事情
下面是负反馈系列，也就是运放工作在线性区
这一部分完全可以通过虚短虚断把运算放大器排除在外
然后就是正常的电路分析了
比例放大
基本的构型是反相输入接 \(R_1\)，同相输入接 \(R_P\)，反馈接 \(R_F\)
如果要求反相输入的话，输入电阻是 \(R_1\)，输出电阻是直接连的运放，就是 \(0\)
增益的话考虑 \(U_i\) 过 \(R_1\) 降到 \(0\) 再过 \(R_F\) 放大到 \(U_o\)
可以算出来 \(A_u=-\frac{R_F}{R_1}\)
如果是同相输入的话 \(R_1\) 接地 \(R_1\) 和 \(R_F\) 中间点位是 \(U_i\)
\(R_F\) 一侧是 \(U_o\)
这样的话 \(A_u=1+\frac{R_F}{R_1}\) 显然成立
这个时候输入电阻因为是电压串联负反馈所以被放大了，就是 \(\infty\)
输出电阻依旧是 \(0\)
但是同相输入代表共模输入，所以对于共模抑制要求很高
然后还有 \(R_P\) 的事，一般要求两边输入电阻是一致的，
所以要求是 \(R_P=R_1//R_F\)
对于反相放大电路，如果想要快速提高输入电阻 \(R_i\)
只换 \(R_F\) 的话还会掉放大倍数，换 \(R_1\) 的话还要考虑 \(\frac{1}{F}\)
可以考虑将 \(R_F\) 换成一个 \(T\) 型网络快速提高放大系数和输入电阻
这个时候的放大倍数
形式有些过于丑陋了，通个分好看一点
对比原始形态的式子可得等效反馈电阻
此时 \(R_P\) 即可计算
还有双运放模拟差分放大
差分放大要求对称，所以 \(R_i=R_{i'},R_F=R_{F'}\)
可以先把实际的 \(u_+\) 按照比例算出来，利用虚短 \(u_-=u_+\) 就可以算了
所以
此时，输入电阻 \(R_{id}=2R_i\)
加法器
这个就是上面比例放大套个叠加定理
不过补偿电阻 \(R_P\) 的话就要求多个一起并联
反相加法的结果就是直接叠加定理的结果
同相其实也是一样的，不过要换一换形式
令 \(R_N=R//R_F,R_P=\sum\limits^{n+1}_{i=1}R_i,(R_i+R_j)=R_i//R_j,R_N=R_P\)
注意这里电阻的加法定义为所有电阻并联的等效电阻
从初始的同相加法套叠加定理出发
代回去并令 \(R_P=R_N\) 即可得
综上，设置好正确的 \(R_{n+1}\)，即可同时在反相和同相输入端进行输入，可得
\(K_i=0\) 表示第 \(i\) 个输入端口接同相输出端，\(K_i=1\) 表示第 \(i\) 个输入端口接反相输出端
积分器与微分器
电容表示积分，其时域电器特性表现为 \(i=C\frac{\textrm{d}U}{\textrm{d}t}\)
反过来就有 \(u(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i\space \textrm{d}t\)
这个时候考虑电流，就会有 \(i=\frac{U_i}{R}\)
代入即得
当然 \(U_{C_{0^-}}\) 表示零状态响应
然后考虑一个反相或是同相的问题就可以了，如果是反相就乘一个 \(-1\)
如果把电容和电阻的位置互换，就有
但是原始版电路没有考虑自激振荡
所以一个改进版就是相位补偿
接一个 \(R_1<<\frac{1}{j\omega C},R>>\frac{1}{j\omega C_1}\) 即可
然后可以在 \(R_P\) 并上一个 \(C_2\) 继续补偿，然后在反馈上补一个稳压管限幅
指对运算电路
考虑从哪里引入指数/对数，当然是 PN 结方程啦
忽略那个 \(-1\) 变个形，就有
代入 \(i_D=\frac{U_I}{R}\) 有
如果不愿意用二极管反馈，用三极管也是一样的
这是因为 \(I_{C}\approx I_E\) 所以式子基本上一样
但是非常一般，所以你尝试消掉 \(I_S\)
注意到这个东西类似于“共模信号”，
所以你使用类似差分放大电路的结构把它弄没了
这个就是三运放对数运算
指数的话就是反过来
留个式子走就可以了
同样还是有三极管等价于二极管
乘除法器
如果想要制作乘除法器，先 ln 再求和再 exp
求和的话注意一下反相同相就可以
这里当然要重点说明一个开方
开方的本质其实是把乘法器当成反馈往里一扔
然后接的时候依旧虚短把反相和同相接在一起，
于是就有了类似平方项的东西
滤波器
滤波滤波，高通低通，最重要的是“高和低”都是什么
显然指的是频域分析
频域分析的话，信号与系统提供了一系列方法
如果涉及到求全响应，拉普拉斯变换肯定要用
RC 电路其实本质上就是比例系数和积分，
用拉普拉斯变换写成复频域的话就是 \(R,\frac{1}{sC}\)
然后就是复频域上的分析
注意到 \(|s|\to 0\) 时，原式为 \(1\) 否则原式随虚部增大趋近于 \(0\)
如果只考虑频域响应，不引入衰减，那么其实就是傅里叶变换（向量域分析）
这个时候 \(\omega_0=\frac{1}{RC}\Rightarrow f_0=\frac{1}{2\pi RC}\) 的话，有
所以就有了截止频率
实际的放大倍数 \(A_{up}\) 其实和同相放大器的放大系数一致，即 \(1+\frac{R_F}{R_1}\)
衰减率的话，因为 \(j\) 只有一次项，所以衰减系数 \(-20\textrm{dB}/\textrm{十倍频}\)
可以发现，这个衰减因子有点太慢了，
不过相对无源还是有非常大的提升的
这是因为无源的电路没有隔开工作模块和负载，
导致性能随负载差异不够稳定
简单的二阶滤波真的过于简单了
依旧拉氏变换/傅里叶变换/相量域分析，拉完了之后正常电路分析就可以
代换的话常数 \(f_0=\frac{1}{2\pi RC}\) 依旧不变，能够得出
算截止频率可得 \(f_p\approx 0.37f_0\)
拉爆了
能不能给力一点？
我们把二阶里面的一个电容接成反馈不就好了
分析的话依旧考虑复频域电路，令 \(C_1=C_2=C\)
那么 \(U_o=A_u\cdot U_P,\) 根据虚断有
然后对 \(M\) 列 KVL：
先化成整式，有
把 \(U_M\) 算出来，有
据此联立两个式子，有
把 \(U_P\) 提到左边
然后把 \(U_o=A_u\cdot U_P\) 代进去，换掉 \(U_P\) 再把 \(U_o\) 移项
写成 \(U_o\) 关于 \(U_i\) 的式子就是
当然还是令 \(s=j\omega,f_0=\frac{1}{2\pi RC}\)
就有
这个因为引入了 \(j\) 的二次项，所以衰减频率是 \(-40\textrm{dB/}\) 十倍频
但是，因为还引入了 \((3-A_u)j\frac{f}{f_0}\) 这个东西，导致单调性会变
第二就是需要保证这个东西任意频率下不会自激，也就是分母恒不等于 \(0\)
也就是 \((3-A_u)^2<4\) 卡在 \(A_u\in (1,3)\) 这个范围里
当然这个 \(A_u\) 的来历是同相放大，所以至少会有这玩意大于 \(1\)
小于 \(3\) 的话是要根据选型来的
最后就是特殊点 \(f=f_0\) 这个点会剩一个 \(Q=\frac{1}{j(3-A_u)}\)
这个东西的大小会决定它的频谱图会不会有一个小突起
上面的东西都是低通滤波
高通滤波的分析其实就是把 \(\frac{1}{sRC+1}\) 换成 \(\frac{sRC}{1+sRC}\)
这样来达到高通的目的，基本上都是 \(R\) 和 \(C\) 交换一下位置
其实本质上，这个是变成了 \(\frac{1}{\frac{1}{sRC}+1}\)
所以在 \(s=j\omega\) 变成频域的时候，所有的 \(j\) 要变成 \(\frac{1}{j}=-j\)
然后就没了
当然其实更通用的办法是上拉普拉斯变换将 \(R\) 和 \(C\) 转换成复频域下的电阻进行分析
(当然由于不涉及信号的衰减所以使用频域分析也是可行的)
带通滤波
正反馈系列
正反馈一般是输出电平一类的东西
一般是一个电压比较器
这个时候的输入总信号其实是 \(u_+-u_-\)
输出信号往往呈现出 \(U_O=Ksgn(u_+-u_-)\) 的特性
所以就可以利用二极管的特性稳定输出电压
单限比较器
套的就是这个壳
具体不展开分析了，因为这个壳非常简单
缺点是抗干扰能力差
滞回比较器
这个是正反馈，此时 \(u_-=u_I\)
考虑虚断，有
考虑输出-输入特性，当 \(u_-=u_+\) 时输出电压会突转
突转之前会有 \(u_O=U_Z\)
所以可以分析出上门限
过了 \(U_{TH1}\) 之后，\(u_->u_+\) 随之输出负电压，
然后 \(u_O\) 就变成了 \(-U_Z\) 之后就不会再变了
此时肯定有 \(U_{TH2}<U_{TH1}\) 所以输入电压要降下去才会变
也就是说单调变化过程中输出电压跳变只有一次
同样的，把 \(u_O=-U_Z\) 代入有下门限
在下降过程中过了这个限制才会跳变
所以会有一个神奇的图像
以及，如果把二极管看成理想模型/恒压降模型
由于导通时存在正向导通和反向击穿的门限，
同样可以得到类似滞回比较器的性质
窗口比较器
你可以理解成是两个单限比较器的输出加和
因为其特点就是两个单限比较器叠加，
需要注意的是为了避免两个部分同时输出负电平，
这个需要加一个二极管来实现单向导通
所以这个也不分析了
主要是如果要用正反馈的话，\(sgn\) 这个传输特性真是太强大了
所以只需要考虑电位是怎么变化的
信号产生电路
正弦信号产生电路
这个一个 LC 震荡电路完事
非正弦信号产生电路
这个的话就是需要比较器干活了
通过和 \(0V\) 比较产生一个合适的矩形波
然后你有了矩形波就可以通过积分电路制造积分器
这样的话就可以造三角波和矩形波
公式需要稍后再放
直流电源
信号
正弦信号当然可以从电网来
降个压就好了
当然也可以考虑自己造一个正弦信号源
由于变压器是一个非常好用的东西，
所以一般就是变压器
这一部分当然不是我们讨论的重点
整流
经典的整流有单二极管的半波整流和四个二极管的全波整流
这个电路非常简单所以就不分析了
单管的半波整流由于直接滤掉了半个周期所以非常浪费
在此按下不表，其最大电流和接下来的全波整流一指，
但是电压的有效值显然是全波整流的一半
全波整流得到的结果相当于对正弦取了一个绝对值
然后对这个信号进行傅里叶级数展开
考虑后续的滤波要求只剩直流分量，
所以去掉所有的交流部分，剩下直流分量的系数是 \(\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\approx 0.9\)
所以负载电压平均值 \(u_L=0.9u_2\)
滤波与选管
考虑将交流部分储存起来转化为直流，即无源滤波
此时光滑的波形变成了锯齿状，导致有效值增大
一般而言，要求管的电流要满足 \(I_F\geq 2I_L\)
选的 \(RC\) 电路当然要满足所谓 \(3-5\) 倍半周期限制
正常的工作状态下负载电压平均值 \(U_L=1.2U_2\)
空载的话负载电压平均值 \(U_L=\sqrt{2}U_2\approx 1.4U_2\)
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