洛谷P8742 [蓝桥杯 2021 省 AB] 砝码称重 题解

本题做法

• 0-1 背包 DP。

思路

这道题是一道变形的 0-1 背包 DP 好题。

题目中说，砝码可以放在左边，也可以放在右边。我们令左盘的砝码重量始终大于或等于右盘的重量，设左盘的重量为 \(m_l\)，右盘的重量为 \(m_r\)，物品的重量为 \(m_t\)。则有：

\[m_l=m_r+m_t \]

此时，若我们又要重新放一个重量为 \(m_p\) 的砝码，若放在左盘中，物品的重量就要增加 \(m_p\)；若要把砝码放在右盘中，则物品的重量就要减少 \(m_p\)。

此时我们定义状态 \(dp[i][j]\) 表示在使用前 \(i\) 个砝码的情况下可否乘出重量 \(j\)（是的话为 true，否的话为 false）。通过上面的分析可知，\(dp[i][j]\) 可以由：

\[dp[i-1][j]或dp[i-1][j+w[i]]或dp[i-1][\ |j-w[i|\ ] \]

转移而来，因为只需要满足上面的 3 项有一项为 true 即可，所以状态转移方程为（其中 \(∨\) 表示逻辑或）：

\[dp[i][j]=dp[i-1][j]∨dp[i-1][j+w[i]]∨dp[i-1][\ |j-w[i]|\ ] \]

当然，对于特殊情况 \(j=w[i]\) 时，我们可以直接得到：

\[dp[i][j]=\text{true} \]

代码

#include<bits/stdc++.h>

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

using namespace std;

const int N=105;
const int T=1e5+5;

int n,w[N],dp[N][T];

int main(){
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
	dp[0][0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++) {
    for(int j=1;j<T;j++) {
			if(j==w[i]) dp[i][j]=1;
			else{
				dp[i][j]|=dp[i-1][j];
				dp[i][j]|=dp[i-1][abs(j-w[i])];
				if(j+w[i]<T) dp[i][j]|=dp[i-1][j+w[i]];
			}
		}
	} 
	int ans=0;
	for(int i=1;i<T;i++){
		if(dp[n][i]) ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}