洛谷P10505 Dropping Test 题解

本题做法

• 01分数规划（或许？类似贪心？）。

思路

这题是一道01分数规划的模板题（虽然没有写在标题里）。

本文主要讲解01分数规划的介绍与使用方法。

何为01分数规划？

01分数规划用于解决如下这类问题：

每个物品有2个权值\(a_i\)和\(b_i\)，给定这些权值，要求选择\(k\)个物品，使得\(\dfrac{\sum{a_i}}{\sum{b_i}}\)最大或最小。

怎么使用01分数规划？

其实这个问题等价于：给定物品的权值\(a_i\)和\(b_i\)，求一组\(w_i\in \{0,1\}\)，使得\(\dfrac{\sum{w_i\cdot a_i}}{\sum{w_i\cdot b_i}}\)最大或最小。

我们可以使用二分答案法搭配01分数规划使用。二分一个答案\(x\)，此时相当于让

\[\dfrac{\sum{w_i\cdot a_i}}{\sum{{w_i\cdot b_i}}}\ge x \]

我们可以简化这个式子。移项，得

\[\sum{w_i\cdot a_i}-x\sum{w_i\cdot b_i}\ge 0 \]

合并同类项，最终得

\[\sum{w_i\times(a_i-xb_i)}\ge 0 \]

所以，我们的目的就是求一组\(w_i\)，满足上面的条件。

二分答案的框架我就不讲了，我主要讲\(check\)函数。

\(check\)函数内可以使用一个辅助数组\(c\)存储每个物品的\(a_i-xb_i\)，最后对\(c\)数组进行从大到小排序，将前\(k\)个物品的\(c_i\)相加，若大于等于0，则返回true；否则返回false。

最后输出\(round(100\times l)\)即可（注意！最好使用cmath库自带的四舍五入函数\(round\)，不会出精度问题，笔者一开始没用\(round\)，就被卡精度了）。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double EPS = 1e-8;
const int N = 1005;

int n, k;
double a[N], b[N], c[N];

bool check(double x) {
    double s = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        c[i] = a[i] - x * b[i];
    }
    sort(c + 1, c + n + 1);
    for (int i = k + 1; i <= n; i++) {
        s += c[i];
    }
    return s >= 0;
}

double find() {
    double l = 0, r = 1;
    while (r - l > 1e-4) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid;
    }
    return l;
}

int main() {
    while (1) {
        cin >> n >> k;
        if (n == 0 && k == 0)
            break;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> b[i];
        cout << round(100 * find()) << endl;
    }
    return 0;
}