P10204 [湖北省选模拟 2024] 白草净华

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哎呦，我感觉这个题太深刻了。

首先我们假设我们现在知道 \(n\)，怎么找到最大值。知道 \(n\) 意味着我们可以任意跳，而不需要在上一次的基础上跳。考虑 \(a_0\) 与 \(a_1\) 的大小关系，不妨假设 \(a_0<a_1\)，则整个图的形状是先一段上升，再一段下降，再一段上升。我们考虑二分出一个位置，满足这个位置左边的都 \(\geq a_0\)，右边的都 \(<a_0\)，容易发现这是可以满足的，然后 \(0\) 到这个位置之间就是单峰的，可以三分或者二分斜率，总之可以做到 1log。

然后现在我们不知道 \(n\)，注意到，如果对于一对 \(x,y\)，满足 \((a_x,a_{x+1})=(a_y,a_{y+1})\)，则 \(n\mid y-x\)。因此我们不妨采用 22 年 ICPC 杭州站的思路进行 BSGS，将步长设做 \(\sqrt {2n}\) 可以得到一个 \(2\sqrt {2n}\) 步数的做法，可以进 \(3333\) 的限制。

然后我们发现，这个题相对于杭州站那个题的优势在于它是有特殊性质的，我们考虑利用这个特殊性质。首先，对于三个位置 \(x,y,z\)，若我们知道了 \(a_x,a_{x+1}\) 以及剩下两对的值，我们是可以判断其在环上的方向的，这个分讨就可以判断是 \(1\to 2\to 3\to 1\) 还是 \(1\to 3\to 2\to 1\)。

我们考虑倍增，初始化 \(x=0,y=1,z=2\)，每次将 \(y,z\) 都乘上 \(2\)，如果其仍然满足 \(x\to y\to z\to x\) 的顺序说明 \(n\) 比 \(z\) 大，否则说明在 \([y,z]\) 范围内。

然后在这个范围内二分，需要解决的是指针只能往后走的问题。发现我们只需要关心指针之间的相对位置而不关心绝对位置，因此我们可以将第一个指针移到上一次询问的位置，将剩下两个指针按照相同的偏移量移动，这样子就可以进行新的询问了。

需要注意的是虽然相邻没有相同的数，但是上下两端会有，需要特别注意一下，这个做法大概是 \(7\log n\) 次询问。

但是还没有结束！题解区有老哥给出了更优的做法：

随机 \(m\) 个点，枚举 \(n\)，check 这 \(m\) 个点 \(\bmod n\) 之后是否构成单峰。感性理解一下相邻两个点的大小关心是随机的，因此期望 \(m=O(\log n)\) 之后就能确定这个 \(n\)！后面一部分按照上面的方法做就行，听说能进 \(100\) 次询问。感觉太深刻了！

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