min_25筛小记

不太清楚这东西的复杂度（

我们将这个题分成两个部分，先求所有质数的函数值之和，然后求所有数的函数值之和。

对于质数来说，这个函数就是一个多项式，将所有项分开考虑。我们假设现在所有数的函数都是这样的，只不过最后只保留质数的答案。

现在有一个很开脑洞的思路，就是设 \(S(n,k)\) 表示在前 \(n\) 个数中，是质数或者最小质因子大于 \(p_k\) 的数的函数值之和。我们让 \(S(n,k)\) 从 \(S(n,k-1)\) 转移过来，这样需要减去最小质因子恰好为 \(p_k\) 的合数，是 \(p_k(S(\frac{n}{p_k},k-1)-sp_{k-1})\)，其中 \(sp_k\) 表示前 \(k\) 个质数的函数值之和。

这东西的复杂度是多少呢？首先我们发现 \(n\) 只有 \(\sqrt n\) 种取值，都是整除分块出来的。其次 \(p_k^2\leq n\)，列出式子是 \(\int_{1}^{\sqrt n}\frac{\sqrt x}{\ln x}\,\mathrm{d}x+\int_{1}^{\sqrt n}\frac{\sqrt\frac{n}{x}}{\ln n-\ln x}\,\mathrm{d}x=O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\ln n})\)。

然后考虑推广到一般的情况，这时候就不能把所有项拆开，要一起看。设 \(g_n\) 表示上面求出来的 \(\leq n\) 的质数的函数值之和，设 \(S(n,k)\) 表示前 \(n\) 个数中最小质因子大于 \(p_k\) 的数的函数值之和，先是大于 \(p_k\) 的质数，是 \(g_n-sp_k\)，然后枚举最小的质因子 \(p_i\) 及其次数 \(e\)，就从 \(f(p_k^e)(S(\frac{n}{p_k^e},i)+[e\not=1])\) 转移。其中加上 \(e\not =1\) 的意义是加上单纯是这个数的幂次的数的函数值和。直接从 \(S(n,0)\) 开始递归就行，时间复杂度据说也是 \(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\ln n})\) 的，有无懂哥教教证明。这一部分应该是可以和第一部分差不多做的，但是听说在现有数据范围下还跑不过直接递归？可能递归访问的状态数比较少？

模板题 的 submission

另外这东西好像最有用的是第一部分，常常用来求区间质数信息啥的，比如这个，根据 submission 合理推断发现大概 1s 能跑 1e12。